Homomorphisme d'anneau et inversibilité

Bonjour,
s'il vous plaît, vérifiez avec moi si je ne commets pas d'erreurs.

Soient $A$, $B$ deux anneaux commutatifs et $f$ un homomorphisme d'anneau injectif de $A$ dans $B$.
Soient $a,b \in R$. Si on a $f(ab)=1$ alors $a$ est inversible. Est-ce que c'est juste ?
En effet : $f(ab)=1$ implique $f(ab-1)=f(0)$ implique $ab=1$ implique $a$ est inversible.
Merci d'avance.