Structure de corps sur R^3

Non par le théorème de Frobenius : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?2,98234

Effectivement, merci pour la précision Maxtimax ! Comme on parlait de "généraliser la construction de $\mathbb{C}$, je suis resté dans un cadre assez restrictif...

Bonne soirée.

Si l'on ne veut pas appliquer le théorème de Frobenius, on peut raisonner comme suit.
Pour $x \in E$ et $y \in E$, on note $xy$ le produit interne bilinéaire.
$\bullet$ Soit $a \in E$, $ a\neq 0$ ; l'application $y \mapsto ay$, de $E$ dans $E$, est un endomorphisme du $\R$-espace vectoriel $E$. Comme l'algèbre $E$ est intègre et de dimension finie, et que $ a\neq 0$, cette application est un automorphisme du $\R$-espace vectoriel $ E$. Il existe donc $u \in E$ tel que $ au=a$, l'élément $u$ dépendant éventuellement de $a$.
$\bullet$ Pour tout $y \in E$, on a : $auy=ay$, et comme $a \neq 0$, l'intégrité et l'associativité conduisent à : $uy=y$, pour tout $y \in E$.
$\bullet $ Soit $x \in E$ ; l'application $y \mapsto xy$, de $E$ dans $E$, est un endomorphisme du $\R$-espace vectoriel $E$. Cet espace étant de dimension finie et impaire, cet endomorphisme a une valeur propre réelle $\lambda$, ce qui signifie qu'il existe $z \in E$ tel que : $xz=\lambda z$ et $z\neq 0$. Par suite : $xz=\lambda uz$ et comme $z \neq 0$, l'intégrité force à conclure : $x=\lambda u$, d'où : $E= \R u$.

Bonne soirée.
Fr. Ch.
07/11/2021

@Chaurien : Jolie démonstration!

Ça me fait beaucoup penser à la manière de prouver que K[x] est un corps si x est algébrique.