Parité dimension et $-Tr(A) \in \mathbb N$

PetiteTaupe
PetiteTaupe
dans Algèbre
Bonsoir, si on prend $A \in M_n(\R)$ telle que $A^4+A^3+2A^2+A+I_n = 0$, quelle est la partié de $n$ ? J'aimerais aussi montrer que $-\text{Tr}(A) \in \mathbb N$. Alors $A$ est annulée par $P = X^4+X^3+2X^2+X+1=0$ qui a déjà $i$ comme racine évidente. Comme il est a coefficients réels, $-i$ est aussi racine : $P = (X-i)(X+i)(X^2+X+1)$ : les racines de $P$ sont $i, -i, j^2, j$. Ses racines sont donc des valeurs propres de $A$ car les valeurs propres de $A$ sont des racines des polynômes annulateurs.
Je ne sais pas vraiment quoi dire d'autre... Pourriez-vous m'aider ? Merci d'avance

Réponses

  • noobey
    noobey
    Si n est impair alors A admet...
  • PetiteTaupe
    PetiteTaupe
    Si $n$ est impair, $A$ admet une valeur propre réelle. Merci.
  • PetiteTaupe
    PetiteTaupe
    Je veux que :$Tr(A) = \omega(j)j + \omega(j^2)j^2 + \omega(i)i - \omega(i)i$. Comme $A$ est réelle, son polynôme caractéristique est à coefficients réels, donc les multiplicités des racines complexes conjuguées sont égales.
    Donc $Tr(A) = \omega(j)(j+j^2) = - \omega(j)$. D'où le résultat.
    Malheureusement je n'ai pas prouvé que $P$ est le polynôme caractéristique de $A$, et donc que les racines sont les valeurs propres de $A$. J'ai simplement que parmi les racines de $P$, il y avait les valeurs propres.
  • noobey
    noobey
    P n'est pas le poly caracteristique de A mais toutes les racines du poly caracteristique sont contenues dans A
  • PetiteTaupe
    PetiteTaupe
    D'accord, donc d'après ton message, les racines complexes conjuguées du polynôme caractéristique sont bien de même multiplicité.
    Oui mais je n'ai pas montré que $j$ et $i$ sont des racines du polynôme caractéristique car on n'a pas montré qu'elles sont valeurs propres de $A$.
  • JLapin
    JLapin
    Si $j$ n'est pas racine du polynôme caractéristique, que vaut $w(j)$ ?
  • PetiteTaupe
    PetiteTaupe
    $\omega(j) = 0$. Donc la trace est nulle. C'est possible si les seules valeurs propres sont $i$ et $-i$. Et même si $A$ n'admet que $0$ comme valeur propre.
  • bisam
    bisam
    PetiteTaupe : On prend souvent pour convention (ou simplement on inclut dans la définition) le fait que la multiplicité d'une racine $\alpha$ par rapport à un polynôme $P$ est égale à 0 lorsque $\alpha$ n'est pas racine de $P$.

    Dans le cadre de la diagonalisation, cela simplifie pas mal de choses car dès qu'on a un polynôme annulateur (et que l'on sait que le polynôme caractéristique est scindé sur le corps considéré), on peut faire les calculs de trace (ou de déterminant) en utilisant les racines du polynôme annulateur, qu'elles soient valeurs propres ou non.
  • PetiteTaupe
    PetiteTaupe
    Merci pour vos réponses.

    Donc si je comprends bien, si on a un polynôme annulateur, il suffit de prendre ses racines : la trace est alors la somme des racines multipliés par leur multiplicité en tant que racine du polynôme caractéristique. Si elles ne sont pas racines, on prendra une multiplicité nulle.
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