Trace et valeurs propres

Bonsoir, j'ai quelques questions sur la démonstration de : trace d'une matrice = somme des valeurs propres multipliées par leur multiplicité.

Soit $a$ un endomorphisme et $A$ la matrice de $a$ (dans une certaine base : la trace est la même pour deux matrices semblables).
Si on est dans un corps algébriquement clos, alors le polynôme caractéristique $\chi_a$ est scindé donc ${\rm Tr}(A) = \sum_i{\lambda_i}$ par les relations coefficients-racines.
Mais la relation coefficients-racines c'est que si le polynôme est scindé...
Et dans $\R$ alors ?

---- Autre idée

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Idem dans un corps algébriquement clos, $a$ est trigonalisable car $\chi_a$ est scindé et donc sa trace est la somme des valeurs propres car si elle est triangulaire, les valeurs propres sont sur la diagonale (en effet, le déterminant d'une matrice triangulaire ou diagonale est le produit des coefficients diagonaux : le polynôme caractéristique ayant exactement les valeurs propres comme racines, ont a le résultat).

J'avais une autre question, pour montrer qu'une matrice carrée de taille $n$ ayant $n$ valeurs propres distinctes est diagonalisable, on utilise le fait que la somme des dimensions des sous-espaces propres est supérieure ou égale $n$ et comme ce sont des sous-espaces distincts, elle est inférieure ou égal à $n$ donc égale.
Mais la dimension de $M_n(\K)$ c'est $n^2$, non ?

Merci d'avance pour vos réponses.