Réduction de Jordan et Dunford

Bonjour, j'essaie de faire la décomposition de Dunford de la matrice $A = \begin{pmatrix} 3&-1&1\\2&0&1\\1&-1&3 \end{pmatrix}$.
J'aimerais mettre cela en relation avec la réduction de Jordan en dimension 3 : ainsi, au lieu de faire comme l'exercice le préconise (trouver les sous-espaces caractéristiques en somme directe, calculer les polynômes caractéristiques des restrictions aux sous-espaces, en déduire que $A$ est une matrice diagonale par blocs avec les blocs $\lambda_i I + N_i$ : l'exercice est le début du Mines 2011), j'aimerais utiliser la réduction de Jordan.

Pour moi, cela consiste à trouver directement $P$ inversement tel que $P^{-1}AP = D+N$ où $D$ est diagonale et $N$ nilpotente.

On cherche les matrices $D$ et $N$ tel que $A = D+N$ où $D$ est diagonalisable et $N$ nilpotente de $\mathcal{M}_3(\C)$ qui commutent. Comme elles sont uniques, il suffit de se les donner.
Le polynôme caractéristique de $A$ est $$\chi_A = X^3 - 5X^2 + 8X -4 = (X-1)(X^2 - 4X + 4) = (X-1)(X-2)^2.$$ On va faire la décomposition de Jordan en dimension 3. Soit $a$ l'endomorphisme canoniquement associé à $A$. Les sous-espaces caractéristiques sont $E_1 = \ker(a- id_{\C^3})$ et $E_2 = \ker((a-2 id_{\C^3})^2)$. Avec un pivot de \Gauss, on trouve que $$E_1 = <\begin{pmatrix}
1\\1\\-1
\end{pmatrix}> \quad\text{ et }\quad E_2 = < \begin{pmatrix}
1\\1\\0
\end{pmatrix} > .$$ On cherche alors $e \in \C^3$ tel que $a(e) = e + \begin{pmatrix}
1\\1\\0
\end{pmatrix}$. On résout $(A-I_3)\begin{pmatrix}
x_1\\x_2\\x_3
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1\\1\\0
\end{pmatrix}$. Il vient $e = \begin{pmatrix}
\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}
\end{pmatrix}$. Comme $\begin{vmatrix}
1&1&\frac{1}{3}\\1&1&-\frac{1}{3} \\ -1&0&\frac{-1}{3}
\end{vmatrix} \neq 0$, $\left(\begin{pmatrix}
1\\1\\-1
\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}
1\\1\\0
\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}
\frac{1}{3}\\ - \frac{1}{3} \\ - \frac{1}{3}
\end{pmatrix} \right)$ est une base de $\R^3$. En posant $P = \begin{pmatrix}
1&1&\frac{1}{3}\\1&1&-\frac{1}{3}\\-1&0&-\frac{1}{3}
\end{pmatrix}$, on a $P^{-1} = \begin{pmatrix}
-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&-1 \\ 1 & 0 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{3}{2}&0
\end{pmatrix}$ et $$P^{-1}AP = \begin{pmatrix}
2&0&-\frac{1}{3}\\-1&2&1\\0&0&1
\end{pmatrix} = \underbrace{\begin{pmatrix}
2&0&0\\0&2&0\\0&0&1
\end{pmatrix}}_{D'} + \underbrace{\begin{pmatrix}
0&0&-\frac{1}{3} \\ -1 &0&1\\ 0&0&0
\end{pmatrix}}_{N'}.

$$ Donc ici on a la matrice $A$ qui s'écrit comme somme de $D'$ et $N'$ dans une certaine base. J'ai vu en faisant la généralisation de la décomposition de Dunford que si on posait $D = P^{-1}D'P$ et $N = P^{-1}N'P$, alors $D$ et $N$ étaient la décomposition de Dunford de $A$.
Mais : $$D = \begin{pmatrix}
1&0&-\frac{1}{3} \\ 1&2&\frac{1}{3} \\0&0&2
\end{pmatrix}$$ Cette matrice est diagonalisable.
Mais $N$ n'est pas du tout nilpotent.
Est-ce que vous pensez savoir où j'ai fait une erreur ? Merci d'avance.