Idéaux radiciels

Bonjour,

c'est pas un exemple très intéressant mais $\mathbb{R}$ semble fonctionner?

cordialement, m.d.

edit: du côté des corps de caractéristique nulle ce n'est pas le seul d'ailleurs.

Dans un corps, tout idéal est ou bien le corps entier, ou bien $0$. Les deux sont radiciels pour des raisons évidentes.

Soit $A$ un anneau intègre, $x$ un élément non nul, et $(x^2)$ l'idéal principal évident. Supposons qu'il est radiciel, alors $x\in \sqrt{(x^2)} = (x^2)$, de sorte qu'il existe $u$ tel que $ux^2 = x$. $A$ étant intègre, $ux = 1$ et donc $x$ est inversible. Donc un anneau intègre vérifie ça si et seulement si c'est un corps.

Un produit de corps vérifie aussi cette propriété - en effet si $x$ est quiconque, alors il s'écrit $ue$ avec $e$ idempotent et $u$ inversible, de sorte que $u^{-(n-1)} x^n = ue = x$, de sorte que si $I$ est un idéal quelconque et $x^n \in I$, alors $x\in I$, donc $\sqrt I = I$.

Je ne sais pas s'il y a d'autres exemples (j'imagine que oui, mais que la question est assez compliquée sans plus d'hypothèses)

Un anneau intègre vérifiant ta condition est nécessairement un corps : Soit $a$ non nul. L'idéal $<a^2>$ est radiciel, et $a$ a une puissance dans cet idéal, donc $a \in <a^2>$, autrement dit, il existe un inversible $\epsilon$ tel que $a=\epsilon a^2$. Par intégrité, $a=\epsilon^{-1}$.

EDIT : grillé :-(