Classe de conjugaison de D_4 dans l'espace

$\newcommand{\eng}[1]{\langle #1 \rangle}$Bonjour Mathematicaidf
Je ne vois pas très bien quelle est ta question ?

Il faut bien voir qu'un $\mathcal D_4$, contient un seul élément central (non trivial), que celui-ci est le carré des éléments d'ordre $4$, donc, dans notre cas, c'est une isométrie directe. Ça ne peut donc être qu'un retournement (symétrie par rapport à une droite).
Les $C_2^{\,2}$ de type $3$ sont à écarter bien qu'ils contiennent un retournement, mais ils contiennent aussi la symétrie centrale qui va commuter avec toutes les isométries, donc va être dans le centre de $\mathcal D_4$ mais ce n'est pas possible car la symétrie centrale n'est pas directe, donc ne peut être le carré d'un élément d'ordre $4$.

Après pour construire les $C_2^{\,2}$ qui peuvent intervenir dans un $\mathcal D_4$ de l'espace, on est obligé de choisir parmi le type $1$ (trois retournements d'axes perpendiculaires deux à deux passant par l'origine) ou le type $2$ (deux plans orthogonaux et le retournement d'axe l'intersection des deux plans).
Alain

PS. Peut-être que le treillis du groupe $\mathcal D_4$ fixerait les idées.

Bonsoir Mathematicaidf
Appelle moi tout simplement Alain, et sur le forum, il est coutume de se tutoyer :-).

Pour obtenir un groupe d'ordre $C_2\times C_2$, j'ai quotienté $D_4$ par $<r^2>$ mais le groupe quotient d'ordre 4, contient deux éléments d'ordre 2, un élément d'ordre 1 et un élément d'ordre 4 ...

Recommence tes calculs, s'il y a un élément d'ordre $4$, il y a nécessairement son inverse (on est dans un groupe) qui est aussi d'ordre $4$. En fait, tu vas trouver trois éléments d'ordre $2$ et un d'ordre $1$, ce qui fera un groupe quotient $C_2\times C_2$.

Cependant le $C_2\times C_2$ que tu obtiens n'est pas un sous-groupe de $\D_4$, c'est un groupe quotient. Or ici, ce que l'on recherche c'est les deux $C_2^{\,2}$ qui sont sous-groupes de $\D_4$ et qui sont donc formés d'isométries de l'espace. Mais on vient de voir comment sont constitués les $C_2^{\,2}$ de l'espace, et on s'est rendu compte que ceux de type 3 ne convenaient pas. Il reste donc à assembler deux $C_2^{\,2}$ de types 1 et/ou 2 pour obtenir les $\D_4$ possibles dans l'espace. C'est ce qui est fait dans le texte qui suit dans le livre, en prenant bien soin de repérer le retournement qui doit être dans le centre de $\D_4$.
Alain

Mathematicaidf a écrit:

... qu’est-ce qui nous garantit que la symétrie centrale ne soit pas dans le centre ?
Le fait que $\det(s_{\Omega})=-1\neq \det(r^2)=1$ ?

Oui.
Pour la même raison les deux réflexions étant de déterminant $-1$ ne peuvent pas être le carré d'un élément d'ordre $4$. Elles "subsistent" parce qu'elles ne seront pas dans le centre du $\D_4$. Alors que la symétrie centrale commute avec tout le monde (sa matrice est $-{\rm Id}_2$) donc si elle était présente elle devrait être dans le centre de $\D_4$.
Alain

$\newcommand{\Cdd}{C_2^{\,2}}$Bonsoir Mathematicaidf
Bien sûr, les deux types d'isométries d'ordre $4$ (rotation : $Rot(\Delta,\frac\pi4)$ et ipfu : $Rot(\Delta,\frac\pi4)\circ s_{P_\Delta}$) vont apparaître dans les différents types de $\D_4$ de l'espace.
La rotation dans ceux de type $(1)$ et $(3)$ de la page 67, et l'ipfu dans celui de type $(2)$.

Pour bien voir cela, il faut se rendre compte qu'ici, on détermine les $\D_4$ par leurs sous-groupes $\Cdd$ et non par un sous-groupe d'ordre 4 et un d'ordre 2, comme il est plus habituel de faire.
Quand on prend un $\Cdd$ formé, outre l'identité, du retournement d'axe $Oz$ et des deux retournements d'axe $Ox$ et $Oy$, symbolisé dans le livre par les trois droites perpendiculaires, on peut choisir pour l'autre $\Cdd$ du $\D_4$ :
$-~(\D_4$ de type $1)$ soit celui formé, outre l'identité, du retournement d'axe $Oz$ (qui est commun avec le premier $\Cdd$, donc constituera le centre du $\D_4$), et des deux retournements d'axes les droites du plan $z=0$, d'équation $y=x$ et $y=-x$, alors pour trouver un élément d'ordre $4$ du $\D_4$, il faut composer un élément d'ordre $2$ de chaque $\Cdd$.
Ainsi : retournement axe $Ox$ composé avec retournement $y=x$ donne la rotation $\frac14$ tour d'axe $Oz$.
$-~(\D_4$ de type $2)$ soit celui formé, outre l'identité, du retournement d'axe $Oz$ (qui est commun avec le premier $\Cdd$, donc constituera le centre de ce nouveau $\D_4$), et des deux réflexions par les plans $y=x$ et $y=-x$, alors pour trouver un élément d'ordre $4$ du $\D_4$, il faut comme précédemment composer un élément d'ordre $2$ de chaque $\Cdd$.
Ainsi : retournement axe $Ox$ composé avec la réflexion plane $y=x$ donne la rotation $-\frac14$ tour d'axe $Oz$ composée avec la symétrie du plan $z=0$. En effet, (les compositions se font de la droite vers la gauche) le point $(1,1,1)$ est inchangé par la réflexion plane $y=x$ et est envoyé en $(1,-1,-1)$ par le retournement d'axe $Ox$. C'est-à-dire rotation $-\frac14$ tour suivi de symétrie plan $xOy$. C'est bien l'ipfu citée au début. Si on recommence, on va en $(-1,1,-1)$ par la réflexion plane $y=x$, puis en $(-1,-1,1)$ par le retournement $Ox$. En continuant une troisième fois, on va en $(-1,1,-1)$, et une quatrième fois fait bien revenir en $(1,1,1)$.

Finalement, il faut aussi associer deux $\Cdd$ de type $(2)$ pour tomber sur le $(\D_4$ de type $3)$ du livre.
Alain