Injectivité d'une application
Bonjour
Je reposte ici une preuve d'un autre fil car je me rends compte qu'elle est incomplète.
Je souhaite prouver l'injectivité de
$$
\begin{array}[t]{lccl}
g_a:&\mathcal{S}_d^{++}(\mathbb{R}) & \longrightarrow & \mathcal{S}_d(\mathbb{R}) \\
& \Gamma & \longmapsto & a\Gamma - \Gamma^{-1} ,\end{array}
$$ pour $a > 0$ donné (l'application part des matrices symétriques définies positives et tombe dans les matrices symétriques).
Pour cela, je me donne $B, C \in \mathcal{S}_d^{++}(\mathbb{R})$ telles que $g_a(B) = g_a(C)$ de sorte que $a(B - C) = B^{-1} - C^{-1}$.
J'introduis alors la matrice symétrique définie positive $D := \sqrt{B}^{-1}C\sqrt{B}^{-1}$ et je réussis à montrer l'injectivité de $g_a$ si je prouve $D = I_d$.
Puisque $C = \sqrt{B}D\sqrt{B}$ (et $B = \sqrt{B}\sqrt{B}$), il vient $a(\sqrt{B}\sqrt{B} - \sqrt{B}D\sqrt{B}) = \left(\sqrt{B}\sqrt{B}\right)^{-1} - \left(\sqrt{B}D\sqrt{B}\right)^{-1} = \sqrt{B}^{-1}\sqrt{B}^{-1} - \sqrt{B}^{-1}D^{-1}\sqrt{B}^{-1}$,
ou encore $a \sqrt{B}\left(I_d - D\right) \sqrt{B} = \sqrt{B}^{-1} \left(I_d - D^{-1}\right)\sqrt{B}^{-1}$,
et donc $a B\left(I_d - D\right)B = I_d - D^{-1}$.
En diagonalisant, on a $D = P\text{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_d)P^{-1}$ donc $aB P\left(I_d - \text{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_d)\right)P^{-1}B = I_d - P\text{diag}(\lambda_1^{-1}, \dots, \lambda_d^{-1})P^{-1}$
et enfin $aP^{-1}BP\left(I_d - \text{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_d)\right)P^{-1}BP = I_d - \text{diag}(\lambda_1^{-1}, \dots, \lambda_d^{-1})$,
soit $Q\left( I_d - \text{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_d)\right)Q = I_d - \text{diag}(\lambda_1^{-1}, \dots, \lambda_d^{-1})$ avec $Q := \sqrt{a}P^{-1}BP$.
Maintenant, je pensais conclure en disant que $I_d - \text{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_d)$ et $I_d - \text{diag}(\lambda_1^{-1}, \dots, \lambda_d^{-1})$ sont semblables donc ont mêmes valeurs propres donc $\lambda_i = 1/\lambda_i$ donc $\lambda_i = 1$ et $D = I_d$ mais ce n'est pas le cas.
Comment faire ?
Je reposte ici une preuve d'un autre fil car je me rends compte qu'elle est incomplète.
Je souhaite prouver l'injectivité de
$$
\begin{array}[t]{lccl}
g_a:&\mathcal{S}_d^{++}(\mathbb{R}) & \longrightarrow & \mathcal{S}_d(\mathbb{R}) \\
& \Gamma & \longmapsto & a\Gamma - \Gamma^{-1} ,\end{array}
$$ pour $a > 0$ donné (l'application part des matrices symétriques définies positives et tombe dans les matrices symétriques).
Pour cela, je me donne $B, C \in \mathcal{S}_d^{++}(\mathbb{R})$ telles que $g_a(B) = g_a(C)$ de sorte que $a(B - C) = B^{-1} - C^{-1}$.
J'introduis alors la matrice symétrique définie positive $D := \sqrt{B}^{-1}C\sqrt{B}^{-1}$ et je réussis à montrer l'injectivité de $g_a$ si je prouve $D = I_d$.
Puisque $C = \sqrt{B}D\sqrt{B}$ (et $B = \sqrt{B}\sqrt{B}$), il vient $a(\sqrt{B}\sqrt{B} - \sqrt{B}D\sqrt{B}) = \left(\sqrt{B}\sqrt{B}\right)^{-1} - \left(\sqrt{B}D\sqrt{B}\right)^{-1} = \sqrt{B}^{-1}\sqrt{B}^{-1} - \sqrt{B}^{-1}D^{-1}\sqrt{B}^{-1}$,
ou encore $a \sqrt{B}\left(I_d - D\right) \sqrt{B} = \sqrt{B}^{-1} \left(I_d - D^{-1}\right)\sqrt{B}^{-1}$,
et donc $a B\left(I_d - D\right)B = I_d - D^{-1}$.
En diagonalisant, on a $D = P\text{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_d)P^{-1}$ donc $aB P\left(I_d - \text{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_d)\right)P^{-1}B = I_d - P\text{diag}(\lambda_1^{-1}, \dots, \lambda_d^{-1})P^{-1}$
et enfin $aP^{-1}BP\left(I_d - \text{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_d)\right)P^{-1}BP = I_d - \text{diag}(\lambda_1^{-1}, \dots, \lambda_d^{-1})$,
soit $Q\left( I_d - \text{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_d)\right)Q = I_d - \text{diag}(\lambda_1^{-1}, \dots, \lambda_d^{-1})$ avec $Q := \sqrt{a}P^{-1}BP$.
Maintenant, je pensais conclure en disant que $I_d - \text{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_d)$ et $I_d - \text{diag}(\lambda_1^{-1}, \dots, \lambda_d^{-1})$ sont semblables donc ont mêmes valeurs propres donc $\lambda_i = 1/\lambda_i$ donc $\lambda_i = 1$ et $D = I_d$ mais ce n'est pas le cas.
Comment faire ?
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