Sur le polynôme caractéristique
dans Algèbre
Bonjour
Je voudrais savoir quels sont les cas où le polynôme caractéristique d'un endomorphisme n'est pas scindé : en effet, avec ce qui suit, j'ai bien l'impression qu'il l'est toujours...
On se place en dimension finie,
Considérons un endomorphisme $f$ avec des valeurs propres distinctes $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_r$. Pour $i \in \{1, \dots, r\}$, je note $P_i = (\lambda_i - X)^{\alpha_i}$, où $\alpha_i$ est l'ordre de multiplicité de $\lambda_i$ comme racine du polynôme caractéristique $P$.
Alors, comme $P$ a exactement comme racines les valeurs propres, je peux factoriser de sorte que $$\exists \alpha \in \R^*,\qquad P = \alpha \prod_{i=1}^r P_i.
$$ Mais $P = X^r - \text{Tr}(f)X^{r-1} + \dots + (-1)^r \det(f)$ ce qui assure que $\alpha = 1$.
Donc $P$ est scindé.
Par ailleurs, par Cayley-Hamilton, on aura toujours que l'espace $E$ est la somme directe des $\ker(P_i)$ (car les $P_i$ sont premiers entre-eux. Cela me paraît un peu trop simple...
Je voudrais savoir quels sont les cas où le polynôme caractéristique d'un endomorphisme n'est pas scindé : en effet, avec ce qui suit, j'ai bien l'impression qu'il l'est toujours...
On se place en dimension finie,
Considérons un endomorphisme $f$ avec des valeurs propres distinctes $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_r$. Pour $i \in \{1, \dots, r\}$, je note $P_i = (\lambda_i - X)^{\alpha_i}$, où $\alpha_i$ est l'ordre de multiplicité de $\lambda_i$ comme racine du polynôme caractéristique $P$.
Alors, comme $P$ a exactement comme racines les valeurs propres, je peux factoriser de sorte que $$\exists \alpha \in \R^*,\qquad P = \alpha \prod_{i=1}^r P_i.
$$ Mais $P = X^r - \text{Tr}(f)X^{r-1} + \dots + (-1)^r \det(f)$ ce qui assure que $\alpha = 1$.
Donc $P$ est scindé.
Par ailleurs, par Cayley-Hamilton, on aura toujours que l'espace $E$ est la somme directe des $\ker(P_i)$ (car les $P_i$ sont premiers entre-eux. Cela me paraît un peu trop simple...
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Réponses
PS : comment tu définis le polynôme caractéristique en dimension infinie ? Le déterminant, en dimension infinie, ça ne me dit rien.
En gros, tu sous-entend qu'une fois que tu connais les racines de ton polynôme, leurs multiplicités et le coefficient dominant, tu le connais en entier. Or il n'en est rien en général : ce n'est déjà pas vrai sur $\R$.
Par exemple, dans $M_2(\R)$, la matrice $A=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$ a pour polynôme caractéristique $\chi_A=X^2+1$ qui n'est pas scindé sur le corps $\R$.
Si $E$ est un $\K$-espace vectoriel,
J'ai vu que si $u \in \mathcal{L}(E)$ est annulé par un polynôme scindé sur $\K$, alors $E$ est la somme directe de sous-espaces stables par $u$, sur chacun desquels $u$ induit la somme d'un homothétie et d'un endomorphisme nilpotent (décomposition de Dunford).
On demande de prouver le même résultat dans le sujet Mines 2011 Math 1, où on définit simplement dans le sujet les $P_i = (\lambda_i - X)^{\alpha_i}$ et $P$ le polynôme caractéristique. On prend $E = \C^n$ et $P$ est à coefficients complexes (je le suppose car il est seulement dit que les $\lambda_i$ sont à valeurs complexes).
Il faut alors aboutir à $P = \prod_{i=1}^r P_i$. Pour cela, je justifie que $P$ est à coefficients complexes, donc scindé d'après d'Alembert-Gauss, ce qui me permet cette fois bien d'écrire $P = \alpha \prod_{i=1}^r P_i$ car il a exactement les $\lambda_i$ comme racines ?
La bonne question c'est de savoir quel est le corps $\K$ sur lequel ton ensemble $E$ devient un espace vectoriel.
En effet, les valeurs propres d'un endomorphisme de $E$ seront par définition dans ce corps $\K$.
Le polynôme caractéristique sera à coefficients dans ce même corps, etc.
Sur quel(s) corps, $E=\C^n$ est-il un espace vectoriel ?
Mais ta question actuelle n'est pas du tout celle que tu posais au début. Par rapport à ta question de départ, ton procédé n'avait pas beaucoup de sens.
En attendant, il faut bien avoir conscience que ce que tu fais marche principalement parce qu'on est sur $\C$. Sur un corps qui n'est pas algébriquement clos, comme $\R$, si tes valeurs propres ne sont pas réelles, scinder le polynôme caractéristique sur $\C$ n'a pas de raison de fournir une matrice réduite à coefficients réels intéressante.