Inégalité de puissances de bases différentes
Bonjour à toutes et tous !
Y aurait-il une solution algébrique à une inégalité de la forme : $\quad a^b \leq b^c \quad $
Je suis sur un exercice comparant le temps d’exécution de deux algorithmes.
Le premier nécessite $8n^2$ étapes de calcul, et le second $64 n \log_2(n)$.
La question est : quelles sont les valeurs de $n$ pour lesquels le premier offre une meilleur performance que le second ?
J'ai essayé de me dépatouiller comme ci-dessous.
$8n^2 \leq 64 n\log_2(n) $
$n \leq 8 \log_2(n) $
$n \leq \log_2(n^8)$
$ 2^n \leq 2^{\log_2{n^8}}$
$ 2^n \leq n^8 $
Et là... Je sèche ?
Y a-t-il une possibilité de résolution "purement algébrique" ?
Ou bien n'y a-t-il d'autre choix que de sortir la calculatrice graphique ou encore de tester des valeurs, "par tâtonnement" ?
Merci par avance pour vos lumières.
Y aurait-il une solution algébrique à une inégalité de la forme : $\quad a^b \leq b^c \quad $
Je suis sur un exercice comparant le temps d’exécution de deux algorithmes.
Le premier nécessite $8n^2$ étapes de calcul, et le second $64 n \log_2(n)$.
La question est : quelles sont les valeurs de $n$ pour lesquels le premier offre une meilleur performance que le second ?
J'ai essayé de me dépatouiller comme ci-dessous.
$8n^2 \leq 64 n\log_2(n) $
$n \leq 8 \log_2(n) $
$n \leq \log_2(n^8)$
$ 2^n \leq 2^{\log_2{n^8}}$
$ 2^n \leq n^8 $
Et là... Je sèche ?
Y a-t-il une possibilité de résolution "purement algébrique" ?
Ou bien n'y a-t-il d'autre choix que de sortir la calculatrice graphique ou encore de tester des valeurs, "par tâtonnement" ?
Merci par avance pour vos lumières.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Algébrique, je ne sais pas.
Du côté de chez Lambert, peut-être ?
Amicalement,
e.v.
Gérard Lambert ?
-- Schnoebelen, Philippe
De Funès dans L’aile ou la cuisse
Mais non Gérard Lambert, mon ancien voisin de HLM au premier qui est boulanger parce que l'université c'est pas pour les fils de prolos.
[Inutile de reproduire le message précédent. AD]
Je vais creuser tout ça :-)
a et b sont réels forcément positifs mais il faudra distinguer c > 0 et c < 0
la résolution graphique avec la fonction f définie par $f(x) = \frac{lnx}{x}$ pour x > 0
préconisée par Gilles Benson est la plus simple
alors que la solution purement algébrique est lourde
Cordialement