Questions théorèmes déterminant

Bonjour à tous,

Dans le but de taper un "plus ou moins cours" sur les déterminants, j'ai plusieurs questions sur ce sujet.

1) Première question: dans le nouveau programme de mpsi (je ne sais pas si cela y était dans l'ancien programme), il y a écrit (page 29) "Déterminant de Vandermonde" suivi du commentaire "Lien avec les polynômes de Lagrange".

Je connais les déterminants de Vandermonde, mais j'ignore quel est leur lien avec les polynômes de Lagrange. Quelqu'un pourrait-il me l'expliquer, et me dire ce qui est attendu par le programme à ce niveau là? Dans l'idéal, une proposition de "plan de cours" (définitions + énoncés + remarques + etc...) de cette micro-partie du programme serait la bienvenue.

Voici le "plan" de mon cours (pour le moment) sur la partie "Vandermonde":
a) Définition d'une matrice de Vandermonde (et notation $V (x_1 , \ldots , x_n)$)
b) La première colonne de la matrice que j'ai donnée dans la définition: $\begin{pmatrix}
1 \\
\vdots \\
1
\end{pmatrix}$ correspond en fait à $\begin{pmatrix}
x_1^0 \\
\vdots \\
x_n^0
\end{pmatrix}$ .
c) Propriété: valeur de $V (x_1 , \ldots , x_n)$ (avec deux démonstrations: l'une par récurrence, l'autre en posant un polynôme construit à partir du déterminant au rang $n-1$).
d) Conséquence: CNS d'inversibilité de la matrice de Vandermonde (sans donner l'inverse ni la façon de le calculer; devrais-je rajouter ça au cours à votre avis? Auquel cas comment faire (je sais que ça se fait mais j'ignore comment)?)
e) Remarque: comme le déterminant d'une matrice est égal à celui de sa transposée, $V (x_1 , \ldots , x_n ) = ...$ (et j'écris explicitement la matrice de la transposée de Vandermonde dans les "...").


2) Seconde question: je veux faire une partie sur le caractère polynomial du déterminant.


En regardant ce qui se fait dans les cours qui existent déjà, j'ai trouvé ceci:

http://alain.troesch.free.fr/2020/Fichiers/coursMPSI-algebre.pdf

C'est traité dans l'encadré rose page 201 (si vous lisez les numéros de pages au niveau de l'en-tête; page 203 si on parle de la page du document pdf).

Je cherche cependant à clarifier certains points.

a) Tout d'abord, pouvez-vous me définir clairement les termes techniques dont il est question: "homogène", "de degré total $n$ en ses $n^2$ coordonnées", "degrés partiels par rapport à chacune des variables" et "degrés partiels par rapport à l'ensemble des variables constituant une même ligne ou une même colonne".

b) J'ai ensuite essayé de me lancer dans une démonstration (à partir de la formule de Leibniz pour le déterminant; d'ailleurs, est-ce "Leibniz" ou "Lagrange"???). Cependant, je m’emmêle un peu car j'ai l'impression de me lancer dans un truc qui serait hyper long si on cherche à le faire rigoureusement, bien que ça soit évident quand on regarde la formule. Par exemple, lorsque j'écris
$$ \det (M) = \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \epsilon \left( \sigma \right) \prod_{i=1}^n m_{i,\sigma (i)} , $$
et que je cherche à montrer que les degrés partiels par rapport à chacune des variables $m_{i,j}$ valent $1$, je constate que pour $(i,j)$ fixé, $m_{i,j}$ apparait au plus une fois par produit (donc jamais de degré $\geqslant 2$), et qu'il apparaît au moins une fois dans l'ensemble des produits (donc pas de degré $\leqslant 0$). Ensuite je cherche à montrer que les produits contenant $m_{i,j}$ ne se compensent pas lorsqu'on les somme, de sorte que la somme de polynômes de degrés $0$ ou $1$ en $m_{i,j}$ pourrait donner un polynôme de degré $\leqslant 0$ en $m_{i,j}$...
...bref vous voyez que ça part pour être long à démontrer rigoureusement pour un truc qui semble si évident lorsqu'on regarde la formule.
Quelqu'un peut-il me montrer comment démontrer les assertions de l'encadré rose de façon à la fois TOTALEMENT RIGOUREUSE mais COURTE (si c'est possible bien sûr)?

c) Je crains une confusion pour des élèves en lisant ces théorèmes. Prenons l'exemple du degré partiel qui vaut $1$ lorsqu'on s'intéresse à un coefficient individuellement. Disons que dans un exercice, un élève veuille calculer le déterminant d'une matrice $M$ donnée, et qu'il pose pour cela un polynôme $P$ en remplaçant un coefficient fixé (par exemple $m_{1,1}$) par $X$ et cherche sa valeur de ce polynôme en $m_{1,1}$. Je sens venir l'erreur d'écrire que le degré de $P$ est $1$, alors que dans l'exemple qui nous intéresse, comme les autres coefficients de la matrice sont fixés, le degré de $P$ peut être nul ou valoir $- \infty$ (par exemple si tous les autres coefficients sont nuls).

En anticipant ce genre d'erreurs/de confusions, je cherche comment expliquer cela clairement à l'élève. Je pensais à quelque chose du genre "dans le théorème du cours, les autres coefficients sont aussi des indéterminées: ils ne sont donc pas fixés. Dans le cas de l'exercice, ils ont une valeur fixée et ce ne sont plus des variables". Sauf que je ne pense pas que cela soit très clair/convaincant pour l'élève, et que surtout je sens venir une contre-réponse du style: "Oui mais le degré partiel c'est justement le polynôme en $n^2$ variables $\det (M)$ est vu comme un polynôme en une seule variable $m_{i,j}$, où $(i,j)$ est fixé. C'est donc le degré du polynôme en une variable $m_{i,j}$ lorsque les autres indéterminées $m_{k,l}$ ne sont plus vues comme des variables, et sont donc fixées."...

C'est bien sûr faux mais je ne sais pas quoi répondre DE CLAIRE pour éviter ce genre de confusion (peut-être cela n'est-il pas si clair que ça pour moi au final).

Quelqu'un pourrait-il m'aider pour rédiger, dans le cours, une remarque à mettre après ce théorème pour expliquer CLAIREMENT cela (et si possible de façon relativement concise), afin d'être sûr que ça soit LIMPIDE pour des ÉLÈVES (sous réserve qu'ils lisent bien leur cours bien sûr). J'insiste sur le mot limpide car je veux vraiment qu'ils aient compris en lisant la remarque, et j'insiste sur le mot "élèves" car c'est à des élèves de première année de de prépa que ce cours est destiné (donc pas forcément très forts et susceptibles de commettre des fautes sur des points un peu fins comme celui-là) donc il faudra sans doute prendre cela en compte dans les explications, étant donné que ce ne sont pas des matheux aguerris et qu'ils ne sont donc pas forcément à l'aise avec ces concepts nouveaux (entre autres les polynômes de plusieurs variables).

Et oui je sais, les polynômes de plusieurs variables c'est dans les "limites" du programme de prépa, mais pour tout dire beaucoup de professeurs traitent quand même ce sujet, et ce cours a pour véritable but d'aider des élèves que je suis en tutorat (donc je ne maîtrise pas le cours qui leur est fait en classe) et qui ont vu cela en cours (paradoxalement, certains professeurs abordent ces sujets un peu délicats (en tout cas selon moi) même dans des classes où les élèves ne sont pas "très forts" (pour ne pas dire parfois "faibles"))... et je cherche aussi à rédiger un cours "le plus complet possible" (c'est-à-dire abordant les points du programme de sup, spé et les les compléments / points hors programme les plus fréquemment traités dans les cours); le but étant d'avoir un cours, qui certes serait sans doute trop "lourd" pour la plupart des classes, mais qui me permettrait, en tutorat, d'avoir à l'avenir juste à piocher dans ce cours la/les partie(s) concernée(s) que l'élève a du mal à comprendre pour pouvoir lui donner à lire et reprendre ça avec lui (d'où l'exigence de rigueur et d'absolue clarté dans la rédaction).
Je précise enfin au cas où: ce post N'A PAS vocation à lancer un débat sur le caractère bon ou mauvais du fait de traiter cela en cours (ni d'ailleurs sur le fait de traiter du hors programme en général)!

Maintenant que vous savez tout, je vais peut-être arrêter ici ce long message (une fois n'est pas coutume ^^)), et vous remercier d'avance pour vos réponses, ainsi que pour ceux qui auront eu la patience de me lire jusqu'au bout! :-)