Sur l'histoire du théorème de Lagrange

Sn · November 2021

Bonjour,

Je ne comprends pas bien ce que l'on entend par cette phrase : Le mathématicien français Joseph-Louis Lagrange a démontré que, par permutation des n indéterminées d'une expression polynomiale, le nombre d'expressions obtenues est un diviseur de n!

Bien cordialement,

Maxtimax · November 2021

Je pense que c'est la chose suivante : si tu as un polynôme $P(X_1,...,X_n)$, toute permutation $\sigma$ te donne un polynôme $P(X_{\sigma(1)},...,X_{\sigma(n)})$ a priori différent.

L'ensemble des polynômes que tu peux obtenir de cette manière est fini (il y en a au plus $n!$), et apparemment Lagrange a démontré que ce nombre divise $n!$ (aujourd'hui on dirait que l'action de $\mathfrak S_n$ sur cet ensemble de polynômes est par définition transitive, donc est de taille $|\mathfrak S_n/Stab(P)| = |\mathfrak S_n|/|Stab(P)|$, donc divise $n!$).

df · November 2021

Soit $f$ un polynôme possédant $n$ racines.
On regarde les différentes valeurs que prend toute fonction rationnelle $F$ en les racines et les coefficients de $f$ quand on permute les racines de $f$. Disons que ces valeurs sont au nombre de $k: s_1,s_2,…,s_k$.
Lagrange écrit la résolvente de $f$: $g(x)=(x-s_1)(x-s_2)…(x-s_k)$ dont les coefficients sont les fonctions symétriques des racines de $f$ (i.e. des polynômes en les coefficients de $f$).

Lagrange a montré que $k$ divise $n!$.
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Sn · November 2021

Merci beaucoup pour votre réponse qui m'éclaire grandement.

Sn · November 2021

df, dans l'attente de comprendre le pourquoi du comment de vos écrits à travers une recherche approfondie, je vous remercie pour votre message et je vous demande s'il est souhaitable de tenter de lire Réflexions sur la résolution algébrique des équations (D'après Wikipédia, c'est là que se trouve la source de cette démonstration) pour ma question originelle d'une part, mais aussi pour la compréhension de la théorie de Galois d'autre part.

df · November 2021

S_n,

je vais essayer de retrouver et poster un article de Serge Lang sur les travaux de Lagrange concernant les équations polynomiales de degré $4$.
Je n’ai pas le temps aujourd’hui.

Lagrange note $x_1 x_2, x_3, x_4$ les racines de sa quartique. Puis il montre que la fonction rationnelle $F=x_1x_2+x_3x_4$ prend $3$ valeurs différentes quand on effectue les $4!=24$ permutations des racines $x_i$. Il écrit donc sa résolvente de degré $3$.
Puis il passe au degré $5$ pour lequel il rencontre quelques difficultés.
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