Bonjour,
Je ne comprends pas bien ce que l'on entend par cette phrase : Le mathématicien français Joseph-Louis Lagrange a démontré que, par permutation des n indéterminées d'une expression polynomiale, le nombre d'expressions obtenues est un diviseur de n!
Bien cordialement,
Réponses
L'ensemble des polynômes que tu peux obtenir de cette manière est fini (il y en a au plus $n!$), et apparemment Lagrange a démontré que ce nombre divise $n!$ (aujourd'hui on dirait que l'action de $\mathfrak S_n$ sur cet ensemble de polynômes est par définition transitive, donc est de taille $|\mathfrak S_n/Stab(P)| = |\mathfrak S_n|/|Stab(P)|$, donc divise $n!$).
On regarde les différentes valeurs que prend toute fonction rationnelle $F$ en les racines et les coefficients de $f$ quand on permute les racines de $f$. Disons que ces valeurs sont au nombre de $k: s_1,s_2,…,s_k$.
Lagrange écrit la résolvente de $f$: $g(x)=(x-s_1)(x-s_2)…(x-s_k)$ dont les coefficients sont les fonctions symétriques des racines de $f$ (i.e. des polynômes en les coefficients de $f$).
Lagrange a montré que $k$ divise $n!$.
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je vais essayer de retrouver et poster un article de Serge Lang sur les travaux de Lagrange concernant les équations polynomiales de degré $4$.
Je n’ai pas le temps aujourd’hui.
Lagrange note $x_1 x_2, x_3, x_4$ les racines de sa quartique. Puis il montre que la fonction rationnelle $F=x_1x_2+x_3x_4$ prend $3$ valeurs différentes quand on effectue les $4!=24$ permutations des racines $x_i$. Il écrit donc sa résolvente de degré $3$.
Puis il passe au degré $5$ pour lequel il rencontre quelques difficultés.
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