Polynôme pair

Piteux_gore · November 2021

Bonjour,

Soit $a_2n x²ⁿ + ... + a₂x² + a₀$ un polynôme dont les racines sont deux à deux opposées.
Comment obtenir le polynôme de degré n dont les racines sont les racines positives du polynôme de degré 2n ?

A+

gai requin · November 2021

Soit $P$ ton polynôme et $x_1,\ldots,x_n$ ses racines positives.
Alors $Q(X)=(X-x_1)\cdots(X-x_n)$ convient.
Mais $(-1)^na_{2n}Q(X)Q(-X)=P(X)$.
On identifie, on trouve $2^n$ solutions pour $Q$ (si $P$ est séparable) et on prend celle dont les coefficients ont des signes qui alternent.

gai requin · November 2021

Cela fonctionne mais il paraît difficile de trouver des formules pour les coefficients de $Q$ !
Sur l'exemple suivant, Maple trouve les valeurs exactes de $a,b,c$ mais elles sont imbuvables donc j'ai pris des valeurs approchées à $25$ chiffres !

> P := 2*x^6-15*x^4+24*x^2-1 :
> fsolve(P) ;
-2.284538454, -1.496020968, -.2068944539, .2068944539, 1.496020968, 2.284538454
> expand((2*(x^3+a*x^2+b*x+c))*(x^3-a*x^2+b*x-c)) :
> coeffs(%, x) ;
2, -2*a^2+4*b, -4*a*c+2*b^2, -2*c^2
> solve({ -2*a^2+4*b = -15, -4*a*c+2*b^2 = 24,-2*c^2 = -1}) :
> S := allvalues(%) :
> evalf[25](S[8]) ;
{a = -3.987453876125592353462338-5.03389242118802913806109*10^(-26)*I, 
b = 4.199894207114505404617250+2.007241384686544970761586*10^(-25)*I, 
c = -.7071067811865475244008445}
> subs(%, [a, b, c]) :
> S := map(Re, %) :
> Q := x^3+S[1]*x^2+S[2]*x+S[3] ;
x^3-3.987453876125592353462338*x^2+4.199894207114505404617250*x-.7071067811865475244008445
> fsolve(Q) ;
.2068944539, 1.496020969, 2.284538454

JLT · November 2021

Il est peut-être plus judicieux de chercher le polynôme dont les racines sont les carrés des racines du polynôme initial.

Edit : bon mon message était inutile.

gai requin · November 2021

C'est surtout plus facile, puisqu'il existe un polynôme $Q$ tel que $P(X)=Q(X^2)$...

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