Groupe multiplicatif de $M_n(\R)$

Ignotus · October 2021

Bonjour à tous !
J'ai rencontré l'exercice suivant dans le chapitre des groupes.

Soit $G$ un groupe pour la multiplication de $M_n(\R)$.
1- Donner un exemple d'un tel groupe qui ne soit pas un sous-groupe de $Gl_n(\R)$.
il existe une indication.
Si $F$ et $H$ sous-espaces vectoriels de $M_{n,1}(\R)$, considérer l'ensemble $ \left\{A \in M_n(\R)\mid \mathrm{im}(A)=F ,\ \ker(A)=H \right\}$.
2- Montrer que tous les éléments de $G$ ont même rang.
3- Montrer que l'élément neutre $E$1 est la matrice d'une projection.

J'ai essayé avec $F,H$ deux sous-espaces vectoriels de $M_{2,1}(\R)$ pour la première question, il me semble que $A$ est une matrice de projection sur $F$ parallèlement à $H$ mais je ne vois rien de plus.
Merci pour vos réponses !

JLapin · October 2021

1) Tu peux prendre $vect(E_{1,1})$
2) Utilise judicieusement l'élément neutre $E$ du groupe $G$ et l'existence d'un symétrique pour montrer que pour tout $M\in G$, on a $rg(M)=rg(E)$.
3) Ecris une relation simple vérifiée par $E$.

Ignotus · October 2021

Bonjour Jlapin ,
$vect(E_{1,1})$ représente quoi içi ?

JLapin · October 2021

$E_{1,1}$ est la matrice élémentaire avec $1$ en position $(1,1)$ et $0$ ailleurs.

Ignotus · October 2021

Bonjour , j'ai réussi à démontrer les deux premières questions, maintenant je veux montrer que E est un projecteur, il faut donc montrer que R^n=Ker(E)+Im(E) avec l'intersection des deux est nulle.
il ne me reste que la décomposition de R^n en Ker(E)+Im(E)
Merci !