Extensions et Out

Maxtimax
Maxtimax
dans Algèbre
Bonjour,

Je cherche un exemple facile (pas forcément minimal du coup) de groupes $G$ et $H$, ainsi que d'un morphisme $G\to Out(H)$ qui n'est réalisé par aucune extension $1\to H\to E\to G\to 1$.

On m'a dit qu'il y avait un exemple avec $H$ le groupe dihédral à 16 éléments et $G=C_2$, mais ça me paraît pénible à vérifier, et il devrait y avoir des exemples simples si on ne les cherche pas minimaux (ou en s'autorisant par exemple des groupes infinis).

Bien sûr, il faut des exemples de $G\to Out(H)$ qui ne se relèvent pas le long de $Aut(H)\to Out(H)$, donc il faut que $G$ ne soit pas libre, et que $H/Z(H)$ soit relativement gros.

Réponses

  • Pea
    Pea
    Je ne sais pas si ça peut faire avancer le schmilblick mais juste une remarque: si $(H,G)$ vérifie la condition que tu cherches alors $(H, Out(H))$ convient aussi et de plus je crois que cela se traduit cohomologiquement par le fait que l'homomorphisme de restriction $H^2(Aut(H), Z(H))\to H^2(H/Z(H), Z(H))$ ne contient pas la classe correspondant à l'extension "tautologique" $1\to Z(H)\to H\to H/Z(H)\to 1$.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Pea : bien vu ! Je n'avais pas repéré le critère cohomologique et ça m'a pris plus de temps pour le compremdre que je n'aurais espéré mais c'est ok maintenant :-D

    Et il est particulièrement sympa puisqu'on peut faire des calculs, et qu'on s'est débarassé de $G$. Bon, il est un peu tard pour les faire, mais au moins c'est jouable
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