Pas que des racines réelles

Merci Pea. Je vais regarder ça.

Merci Chaurien avec l'indication de Pea j'étais arrivé à
Si $P(X)=c(X-r_{1})..(X-r_{n})$ et si je considère $T(X)=c'(X-1/r_{1})..(X-1/r_{n})=t_{n}X^{n}+t_{n-1}X^{n-1}+...+t_{0}$

j'obtiens

$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{r_{k}^{2}}=\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{r_{k}}\right)^{2}-2\sum_{1\leq i<j\leq n}\frac{1}{r_{i}r_{j}}$

et donc

$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{r_{k}^{2}}=\sigma_{1}\left(T\right)-2\sigma_{2}\left(T\right)=-\frac{t_{n-1}}{t_{n}}-2\frac{t_{n-2}}{t_{n}}$

Avec le polynôme réciproque j'arrive plus facilement à $\sum_{k=1}^{n}r_{k}^{2}=-1$ et forcément il y a des racines non réelles.
Mais franchement sans savoir que c'était la somme des carrés qu'il fallait utiliser je n'aurai jamais trouvé.