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Résolution d'une puissance non diagonalisable

JuggleforlifeJuggleforlife
dans Algèbre
Je sèche sur un exo de taupin spé et ça m'agace.
On a tout un exercice sur les sous-espaces stables et caractéristiques etc... et on doit résoudre à la fin
X^n = A, avec X matrice 2x2 sur le corps de base C, A matrice 2x2 qui vaut (1,1) sur la première ligne ,(0,1) sur la deuxième.

Pour moi cette matrice n'est pas diagonalisable car sinon elle serait semblable à l'identité ce qu'elle n'est pas.
Et donc... pas d'idée.

Il me semble que :
- la matrice solution a un zéro en bas à gauche
- les racines n-ièmes de l'unité vont sur la diagonale
- en haut à droite, on peut mettre un truc genre une racine n-ième divisée par n ? Ou un truc du genre...

Quand je vais voir la solution je vais probablement me dire mais bien sûr ! Mais là je sèche.
Un petit indice serait le bienvenu. Merci à tous !

Réponses

  • etancheetanche
    Que remarques-tu AX et XA ?

    Puis poser a,b,c,d les coefficients de X etc…
  • JuggleforlifeJuggleforlife
    Ah oui évidemment, A commute avec X.
    Donc AX = XA donc en posant les coeffs....

    Je trouve qu'il n'y a pas de solution...sauf si je n'ai encore pas bien intégré le changement d'heure.
    Merci !
    Xavier.
  • etancheetanche
    @Juggleforlife un truc pour le changement d’heure en OctobRE a on Retarde l’heure, en AVril on AVance l’heure.
  • nicolas.patroisnicolas.patrois
    Si n=1, il y a une solution. Tu n’as pas dit si n était la taille des matrices.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • JuggleforlifeJuggleforlife
    mais si n = 2 la matrice [1,1/2] première ligne puis [0,1] deuxième ligne convient alors que je n'ai pas trouvé de solutions juste avant....

    Trop de fatigue. Ou est mon erreur ?
  • nicolas.patroisnicolas.patrois
    Calcule $A^m$ ? C’est un classique de taupe.
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            -- Schnoebelen, Philippe
  • JuggleforlifeJuggleforlife
    bonjour Nicolas, oui n est un entier naturel non nul fixé, il n'a rien à voir avec la taille des matrices qui est fixée 2x2 comme je l'ai explicité. cf mon message juste avant qui se sont croisés je vois bien qu'il y a encore une incohérence...
  • JuggleforlifeJuggleforlife
    A^m c'est classique en disant identité + nilpotente d'indice 2
    d'ou A^m = I + mB avec B matrice avec uniquement un 1 en haut à droite.
    Je vois comment ça peut m'aider....
  • nicolas.patroisnicolas.patrois
    Montre-le avec une récurrence propre.
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            -- Schnoebelen, Philippe
  • JuggleforlifeJuggleforlife
    @Nicolas, j'ai fait la récurrence propre mais pas trop compris à quoi cela servait....Je suis d'accord avec moi-même mais A^m ne m'aide pas directement pour X^n

    Par contre, en résolvant le système on trouve, les éléments sur la diagonale égaux, et le coeff en bas à gauche qui vaut zéro (comme j'avais intuité).

    En calculant ensuite avec X de la forme aId + bB avec B qui n'a que des zéros sauf le coeff en haut à droite qui vaut 1, on trouve a qui vaut une racine n-ième de l'unité et b qui vaut a/n.

    Vous êtes a priori ok avec le résultat ?

    Question subsidiaire : est-ce qu'on aurait pu obtenir directement l'unicité ? [et donc chercher une matrice de la bonne forme et réussir autrement] ?
  • bisambisam
    On peut sans doute utiliser une partie de l'exercice qui précède ainsi :
    Si $X$ est solution alors $A$ et $X$ commutent donc en particulier l'espace propre de $A$ associé à la valeur propre $1$, à savoir la droite portée par le premier vecteur, noté $e_1$, de la base canonique de $\C^2$, est stable par $X$.
    Ainsi, $e_1$ est vecteur propre de $X$. Il n'est alors pas difficile de trouver la valeur propre associée (ou du moins toutes celles qui sont possibles).
    Il ne manque plus que 2 coefficients à $X$... et en remplaçant dans l'équation, on termine aisément.

    Mais il est encore plus court d'écrire directement $AX=XA$, d'en déduire la forme de $X$ puis de remplacer et de trouver les solutions. Du coup, le reste de l'exercice ne sert à rien.

    Ah, au fait, ton résultat est correct... et par conséquent, il n'y a pas unicité...
  • JuggleforlifeJuggleforlife
    @bisam : Oui bien sûr il n'y a pas unicité. je réfléchissais à racine n-ième près mais c'est maladroit.
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