Matrice de permutations
Bonsoir,
Je m'essaie à la première partie de Mines MP 2021 sur les matrices de permutations. Pas de difficulté sur les 3 premières questions mais la question 4 me pose problème.
Question $1$ :
Soient $(i,j) \in [|1,n|]^2$. On a par définition $\boxed{[w(\sigma \circ \sigma ')]_{ij} = \delta_{i, \sigma \circ \sigma '(j)}}$
Par ailleurs $[w(\sigma) w(\sigma')]_{ij}= \displaystyle\sum_{k=1}^n [w(\sigma)]_{ik} [w(\sigma ')]_{kj} \\ =
\displaystyle\sum_{k=1}^n \delta_{i \sigma(k)} \delta_{k \sigma '(j)} \\
$
Cette somme est nulle sauf si $k=\sigma '(j)$ ce qui donne $\boxed{[w(\sigma) w(\sigma')]_{ij}= \delta_{i, \sigma \circ \sigma '(j)}}$
Question $2$ :
Calculons $[w(\sigma)^T w(\sigma)]_{ij}$
Par produit matriciel on trouve $[w(\sigma)^T w(\sigma)]_{ij} = \displaystyle\sum_{k=1}^n \delta_{\sigma(i) k} \delta_{k \sigma(j) } \\ =\delta_{\sigma(i) \sigma(j)} $
Ce produit est nul sauf si $\sigma(i)=\sigma(j)$ alors il vaut $1$. Mais $\sigma$ est une bijection donc cela revient à dire que $i=j$.
Ainsi ce produit donne la matrice identité et ainsi $\boxed{w(B_n) \subset O_n(\R)}$
Question $3$ :
Encore un produit matriciel.
$[diag(d_i) w(\sigma) ]_{ij} = \displaystyle\sum_{k=1}^n d_i \delta_{ik} \delta_{k \sigma(j)} $. Donc$\boxed{[diag(d_i) w(\sigma) ]_{ij} =d_i \delta_{i \sigma(j) } }$
$[ w(\sigma) diag(d_{\sigma(i)}) ]_{ij} = \displaystyle\sum_{k=1}^n \delta_{i \sigma(k)} d_{\sigma(k)} \delta_{kj} $. Donc $\boxed{[diag(d_i) w(\sigma) ]_{ij} = d_{\sigma(j)}\delta_{i \sigma(j)}}$
Question $4$ :
On a donc $\{d_1, d_2, \cdots, d_n \} = \{d_1 ', \cdots d_n ' \}$. Ces deux ensembles ont le même cardinal, il existe une bijection $\sigma$ tel que $d_i '=d_{\sigma(i)}$
Je ne vois pas comment montrer $i) \implies ii)$
Je m'essaie à la première partie de Mines MP 2021 sur les matrices de permutations. Pas de difficulté sur les 3 premières questions mais la question 4 me pose problème.
Question $1$ :
Soient $(i,j) \in [|1,n|]^2$. On a par définition $\boxed{[w(\sigma \circ \sigma ')]_{ij} = \delta_{i, \sigma \circ \sigma '(j)}}$
Par ailleurs $[w(\sigma) w(\sigma')]_{ij}= \displaystyle\sum_{k=1}^n [w(\sigma)]_{ik} [w(\sigma ')]_{kj} \\ =
\displaystyle\sum_{k=1}^n \delta_{i \sigma(k)} \delta_{k \sigma '(j)} \\
$
Cette somme est nulle sauf si $k=\sigma '(j)$ ce qui donne $\boxed{[w(\sigma) w(\sigma')]_{ij}= \delta_{i, \sigma \circ \sigma '(j)}}$
Question $2$ :
Calculons $[w(\sigma)^T w(\sigma)]_{ij}$
Par produit matriciel on trouve $[w(\sigma)^T w(\sigma)]_{ij} = \displaystyle\sum_{k=1}^n \delta_{\sigma(i) k} \delta_{k \sigma(j) } \\ =\delta_{\sigma(i) \sigma(j)} $
Ce produit est nul sauf si $\sigma(i)=\sigma(j)$ alors il vaut $1$. Mais $\sigma$ est une bijection donc cela revient à dire que $i=j$.
Ainsi ce produit donne la matrice identité et ainsi $\boxed{w(B_n) \subset O_n(\R)}$
Question $3$ :
Encore un produit matriciel.
$[diag(d_i) w(\sigma) ]_{ij} = \displaystyle\sum_{k=1}^n d_i \delta_{ik} \delta_{k \sigma(j)} $. Donc$\boxed{[diag(d_i) w(\sigma) ]_{ij} =d_i \delta_{i \sigma(j) } }$
$[ w(\sigma) diag(d_{\sigma(i)}) ]_{ij} = \displaystyle\sum_{k=1}^n \delta_{i \sigma(k)} d_{\sigma(k)} \delta_{kj} $. Donc $\boxed{[diag(d_i) w(\sigma) ]_{ij} = d_{\sigma(j)}\delta_{i \sigma(j)}}$
Question $4$ :
On a donc $\{d_1, d_2, \cdots, d_n \} = \{d_1 ', \cdots d_n ' \}$. Ces deux ensembles ont le même cardinal, il existe une bijection $\sigma$ tel que $d_i '=d_{\sigma(i)}$
Je ne vois pas comment montrer $i) \implies ii)$
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Réponses
Supposons qu'il existe $M \in B_n$ tel que $D' = M^T DM$.
Cela équivaut à $\exists \sigma \in B_n$ tel que $diag(d_i ')=w(\sigma)^T diag(d_i) w(\sigma)$
Cela équivaut à $\exists \sigma \in B_n$ tel que $diag(d_i ')=w(\sigma)^T w(\sigma) diag( d_{\sigma(i)})$ d'après Q3
Cela équivaut à $\exists \sigma \in B_n$ tel que $diag(d_i ')= diag( d_{\sigma(i)})$ d'après Q2
Cela équivaut à $\exists \sigma \in B_n \ \ \forall i \in [|1,n|] \ \ d_i '= d_{\sigma(i)}$
Une permutation ne change pas la valeur des coefficients, elle change uniquement leur place dans la diagonale, ce qui permet de conclure.
2) Le passage de la 1ère à la deuxième ligne est précisément ce qu'il faudrait détailler.
3) Tu sembles raisonner complètement à l'envers.
A un de mes élèves, je ne donneras aucun point pour une telle réponse.
Ceci dit, une fois qu'on a l'habitude, on se rend compte que mis à part une ou deux coquilles la preuve est fondamentalement juste.
En fait il démontre l'équivalence $ii \Leftrightarrow i$ dans cet ordre.
Je la réécris en corrigeant les coquilles :
$\exists M \in \omega(B_n)$ tel que $D' = M^T DM$
$\Leftrightarrow$ $\exists \sigma \in B_n$ tel que $diag(d_i ')=w(\sigma)^T diag(d_i) w(\sigma)$
$\Leftrightarrow$ $\exists \sigma \in B_n$ tel que $diag(d_i ')=w(\sigma)^T w(\sigma) diag(d_{\sigma(i)})$ d'après Q3
$\Leftrightarrow$ $\exists \sigma \in B_n$ tel que $diag(d_i ')= diag( d_{\sigma(i)})$ d'après Q2
$\Leftrightarrow$ $\exists \sigma \in B_n$ tel que $\forall i \in [|1,n|] \ \ d_i '= d_{\sigma(i)}$
Remarque : $diag(d_i), diag(d_i')$ sont évidemment $D$ et $D'$ des matrices diagonales.
PS. finalement il n'y avait qu'une coquille...
Le passage de la première ligne à la deuxième il n'y a pas grand chose à expliquer. $D$ est diagonale par hypothèse donc elle s'écrit $D=diag(d_i)$ et $M \in w(B_n)$ donc $M=\sigma(\omega)$
vous me dites que j'ai faux pour tant j'ai recopié le corrigé :-S
Je crois que, cette fois, c'est la goutte d'eau pour moi.
Oshine, je pense que tu en es arrivé au stade où il faut te soigner : tu viens ici uniquement dans l'espoir de recevoir de temps en temps une récompense et le plus souvent des réprimandes. C'est un comportement addictif.
Pour la 4 j'ai regardé juste la première ligne et après j'ai fait tout seul.
Mon blocage est que je suis partir de $i$ pour montrer $ii$ en fait j'aurais pu car j'ai écrit au départ une idée juste, qu'il existe une bijection $\sigma$ tel que $d_i '=d_{\sigma(i)}$
Je serais passé à $diag (d_i)$ j'aurais pu conclure.
J'avais bien commencé en faisant les 3 premières questions tout seul.
Et pour la 4 j'avoue avoir regardé le début de la preuve du corrigé.
En fait j'aurais pu trouvé cette question moi-même tout seul si je savais réfléchir.
Tu fais perdre du temps à tout le monde et à force quand tu réponds juste on a toujours le doute sûr si tu as trouvé seul ou non.
En plus les corrigés UPS sont très bien rédigés et clairs pour ce sujet de Mines Ponts 2021, à moi de me débrouiller un peu.
J'ai déjà fait il y a quelques temps cette remarque. OShine avait recopié mot pour mot, à la lettre près un corrigé disponible sur la toile (sans le dire bien entendu).
C'est du grand n'importe quoi.
Plus sérieusement OShine je ne vois plus trop le but de tout ça si c'est pour recopier des corrigés... enfin il y a surement un but pour toi mais il n'est plus très sain on va dire.
Quand une question est vraiment dure, on est parfois obligé de regarder le corrigé.
Ces 4 questions sont largement accessibles même à une personne de niveau moyen.
Il faut juste maitriser le produit matriciel et comprendre c'est quoi une permutation.
Non, c'est faux, on n'est jamais obligé de regarder le corrigé.
D'autre part, il n'existe pas de question "dure", c'est totalement subjectif.
Il y a seulement des questions qu'on ne sait pas faire à un moment donné, on saura peut-être une autre fois.
Cordialement,
Rescassol