Groupe de Galois d'un produit de polynômes
Je viens de me rendre compte (un peu tard j'avoue B-)-) que si on a deux polynômes $P_1,P_2$ à coefficients dans un corps $K$ et premiers entre eux, alors $\textrm{Gal}(P_1P_2/K)\simeq \textrm{Gal}(P_1/K)\times \textrm{Gal}(P_2/K)$.
C'est bizarre mais j'ai l'impression que ce résultat n'est pas très mentionné. Dans le bouquin de Ivan Gozard par exemple je ne le trouve pas.
Bref, ma question est : est-ce que ce résultat découle d'un résultat plus général ?
C'est bizarre mais j'ai l'impression que ce résultat n'est pas très mentionné. Dans le bouquin de Ivan Gozard par exemple je ne le trouve pas.
Bref, ma question est : est-ce que ce résultat découle d'un résultat plus général ?
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Réponses
un exemple et un contre-exemple sur mathoverflow:
…
Il ne me reste plus qu'à trouver la faute dans ma preuve.
Merci df.
Théorème : Soit $\Omega$ une clôture algébrique d'un corps $k$ et $K,L$ deux extensions galoisiennes de $k$ contenues dans $\Omega$.
Alors, si $K\cap L=k$, le morphisme de restriction (toujours injectif) $\mathrm{Gal}(KL/k)\to\mathrm{Gal}(K/k)\times\mathrm{Gal}(L/k)$ est un isomorphisme.
Exercice : Trouver un corps $k$ et deux polynômes $P_1,P_2\in k[X]$ tels que $D_k(P_1)\cap D_k(P_2)=k$ et
$\mathrm{Gal}(P_1P_2/k)$ ne soit pas isomorphe à $\mathrm{Gal}(P_1/k)\times\mathrm{Gal}(P_2/k)$.
Pour ton exercice il faut que le corps $k$ ne soit pas parfait afin que le théorème ne puisse pas s'appliquer. Mais je ne suis pas assez à l'aise avec tout ça pour trouver facilement un exemple. Je reviendrais dessus lorsque j'aurais du temps.
On sait que le corps $k$ ne peut pas être parfait, donc je suis parti sur $k=\mathbb{F}_2(Y)$. Ensuite on remarque, si je ne me suis pas trompé, que $D_k(P_1)$ et $D_k(P_2)$ ne peuvent pas être monogènes car autrement $\mathrm{Gal}(P_1P_2/k)$ est isomorphe à $\mathrm{Gal}(P_1/k)\times\mathrm{Gal}(P_2/k)$.
J'ai testé quelques polynômes mais pas trouvé le bon exemple... peut-être qu'il faudrait prendre $k=\mathbb{F}_2(Y,Z)$ ou peut-être qu'il vaudrait mieux utiliser la caractéristique $3$...
Si toi ou quelqu'un d'autre a la réponse qu'il n'hésite pas à la balancer.
Et bien je pense que dès que $D_k(P_1)\cap D_k(P_2)=k$, on a $\mathrm{Gal}(P_1P_2/k)\simeq \mathrm{Gal}(P_1/k)\times\mathrm{Gal}(P_2/k)$ !
Preuve : Ce résultat est vrai en caractéristique nulle donc on peut supposer $p=\mathrm{car}(k)>0$.
Pour $i=1,2$, il existe $Q_i,R_i\in k[X]$ tels que $Q_i$ est séparable et $P_i$ et $Q_i(X)R_i(X^p)$ ont les mêmes racines.
Si $\alpha_i$ est une racine de $R_i(X^p)$, $\alpha_i$ est la seule racine de son polynôme minimal.
Donc tout $\sigma_i\in\mathrm{Gal}(P_i/k)$ fixe les racines de $R_i(X^p)$.
Donc $\mathrm{Gal}(P_1/k)\simeq\mathrm{Gal}(Q_1/k)$, $\mathrm{Gal}(P_2/k)\simeq\mathrm{Gal}(Q_2/k)$ et $\mathrm{Gal}(P_1P_2/k)\simeq\mathrm{Gal}(Q_1Q_2/k)$.
Mais $k\subset D_k(Q_1)$ et $k\subset D_k(Q_2)$ sont galoisiennes, avec $D_k(Q_1)\cap D_k(Q_2)=k$ donc $\mathrm{Gal}(Q_1Q_2/k)\simeq \mathrm{Gal}(Q_1/k)\times\mathrm{Gal}(Q_2/k)$ ce qui conclut.
Juste une chose. Tu dis :
Mais si je prends $k=\mathbb{F}_2(Y)$ et $R(X)=X^2+XY+Y$ alors par Eisenstein $R(X^2)$ est irréductible dans $k[X]$. De plus si $\alpha$ est une racine de $R(X^2)$ dans une clôture algébrique de $k$ alors $R(X^2)$ se factorise en $(X+\alpha)^2\left(X+\dfrac{\sqrt{Y}}{\alpha}\right)^2$.
Bref, on voit que $R(X^2)$ est le polynôme minimal de $\alpha$ sur $k$ et il possède deux racines distinctes.
PS. À moins que quelque chose m'échappe dans ton argument.
Et merci pour ton joli exemple (tu)
Il faut que je comprenne un peu mieux les groupes de Galois des extensions non séparables :-S
C'est l'exo de gai requin ici http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2322588,2322650#msg-2322650 qui donne du fil à retordre. Si tu as des infos...
gai requin ok, donc la question est encore ouverte.
J'ai appris plein de trucs sur les extensions non séparables et leur groupe de Galois...
1) J'utilise ici le document "galois.pdf" qu'on trouve [sur cette page].
Soit $P\in k[X]$ et $G=\mathrm{Gal}(P/k)$.
D'après le théorème 3.4.2 p.35 et le théorème de l'élément primitif, il existe une extension $K$ de $k$ purement inséparable et $\alpha\in D_k(P)$ tels que $D_k(P)=K(\alpha)$ avec $K\subset K(\alpha)$ galoisienne et $G=\mathrm{Gal}(K(\alpha)/K)$.
Dans [ton exemple], $D_k(R(X^2))=k(\sqrt Y)(\alpha)$ et $G=C_2$.
Soit maintenant $P_1,P_2\in k[X]$ tels que $D_k(P_1)\cap D_k(P_2)=k$.
Soit $(K,\alpha)$ et $(L,\beta)$ associés à $D_k(P_1)$ et $D_k(P_2)$ comme en 1), de sorte que $D_k(P_1P_2)=KL(\alpha,\beta)$.
$KL$ est une extension purement inséparable de $k$, $KL\subset KL(\alpha,\beta)$ est galoisienne et $\mathrm{Gal}(P_1P_2/k)=\mathrm{Gal(KL}(\alpha,\beta)/KL)$.
2) J'utilise maintenant [ce document] que tu as peut-être déjà consulté à propos du produit fibré...
Soit $\gamma\in KL(\alpha)\cap KL(\beta)$.
Il existe $P,Q\in KL[X]$ tels que $\gamma=P(\alpha)=Q(\beta)$.
Comme $KL$ est purement inséparable sur $k$, il existe $n\in\mathbb N$ tels que $P^{p^n},Q^{p^n}\in k[X]$, où $p=\mathrm{car}k$.
De $P^{p^n}(\alpha)=Q^{p^n}(\beta)$ et $D_k(P_1)\cap D_k(P_2)=k$, on tire $\gamma\in KL$.
D'après le théorème p.29, on a donc :$$\mathrm{Gal}(KL(\alpha,\beta)/KL)\simeq \mathrm{Gal}(KL(\alpha)/KL)\times\mathrm{Gal}(KL(\beta)/KL).$$De plus, d'après la proposition du 3.2. p.28 (il y a une coquille (td)), on a :$$\mathrm{Gal}(KL(\alpha)/KL)\simeq \mathrm{Gal}(K(\alpha)/K(\alpha)\cap KL).$$Enfin, si $\delta\in K(\alpha)\cap KL$, alors $\delta$ est à la fois séparable et purement inséparable sur $K$ donc $\delta\in K$.
3) Bilan de mon calcul :-S$$\mathrm{Gal}(P_1P_2/k)=\mathrm{Gal}(KL(\alpha,\beta)/KL)\simeq\mathrm{Gal}(K(\alpha)/K)\times\mathrm{Gal}(L(\beta)/L)=\mathrm{Gal}(P_1/k)\times\mathrm{Gal}(P_2/k).$$À prendre avec de très grosses pincettes même si j'y crois puisque j'ai posté B-)
figure-toi qu'en me replongeant dans le bouquin de Ivan Gozard (Théorie de Galois) j'avais commencé à élaborer une preuve dont l'idée de base ressemblait beaucoup à la tienne. Néanmoins j'était encore loin du compte et je ne suis pas certains que j'aurais pu m'en sortir.
$K$ est le sous-corps fixe associé à $G=\mathrm{Gal}(P/k)$ et moi j'étais parti plutôt sur des considérations à propos du sous-corps fixe de $\mathrm{Gal}(P_1P_2/k)$ (qui est $KL$ en lisant ta preuve), donc de la grande extension, pour ensuite exploiter le théorème 3.4.2 et obtenir une extension galoisienne.
Bref, j'ai lu attentivement ta preuve et je n'ai pas trouvé d'erreurs donc on dirait que c'est bon. (tu)
Rappel : pour une extension $L/K$ algébrique finie, on note $[L:K]_s$ le degré séparable de l'extension, qui est par définition le nombre de prolongements à $L$ d'un morphisme $\sigma:K\to E$ quelconque de $K$ dans $E$ un corps algébriquement clos (ce nombre est indépendant de $\sigma$ et de $E$).
J'utilise les même notations que dans la preuve de gai requin ici http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2322588,2325188#msg-2325188.
On considère la tour d'extensions : $$k\subset L\subset L(\beta)\subset L(\beta)(\alpha)\subset KL(\beta)(\alpha).
$$ Calculons le degré séparable des extensions intermédiaires :
1) On a par définition de $L$, $[L:k]_s=1$.
2) $L(\beta)/L$ étant galoisienne, $[L(\beta)/L]_s$ est égal au nombre de racines du polynôme minimal de $\beta$ sur $L$ donc $[L(\beta)/L]_s=|\mathrm{Gal}(L(\beta)/L)|=|\mathrm{Gal}(P_2/k)|$.
3) Considérons $L(\beta)(\alpha)/L(\beta)$ : soit $f_{\alpha}$ le polynôme minimal de $\alpha$ sur $k$. Si $g\in L(\beta)[X]$ est un facteur irréductible unitaire de la décomposition de $f_{\alpha}$ dans $L(\beta)$ alors les coefficients de $g$ sont dans $K(\alpha)\cap L(\beta)$ et vu que par hypothèse, $K(\alpha)\cap L(\beta)=k$ on en déduit que $g=f_{\alpha}$ et par suite, le polynôme minimal de $\alpha$ sur $L(\beta)$ est toujours $f_{\alpha}$.
Or quasiment par définition du degré séparable, $[L(\beta)(\alpha)/L(\beta)]_s$ est égal au nombre de racines distinctes du polynôme minimal de $\alpha$ sur $L(\beta)$ donc au nombre de racines distinctes de $f_{\alpha}$ donc à $|\mathrm{Gal}(P_1/k)|$.
4) Pour finir, il est quasiment évident que $[KL(\beta)(\alpha)/L(\beta)(\alpha)]_s=1$ par définition de $K$.
5) Ah oui, the last but not the least, l'extension qui englobe tout $KL(\beta)(\alpha)/k$ : cette extension étant normale, son degré séparable est égal à l'ordre de son groupe de Galois, donc $[KL(\beta)(\alpha):k]_s=|\mathrm{Gal}(P_1P_2/k)|$.
Il ne reste plus qu'à appliquer la multiplicativité du degré séparable à l'extension ci-dessus et on obtient :
$$
|\mathrm{Gal}(P_1P_2/k)|=[KL(\beta)(\alpha):k]_s=1\cdot |\mathrm{Gal}(P_2/k)|\cdot |\mathrm{Gal}(P_1/k)|\cdot 1.
$$ Ceci prouve que le morphisme de restriction $\mathrm{Gal}(P_1P_2/k)\to\mathrm{Gal}(P_1/k)\times\mathrm{Gal}(P_2/k)$ est en fait un isomorphisme.
J'en rajoute une couche ;-)
Dans le cas général où l'on ne suppose rien sur $D_k(P_1)\cap D_k(P_2)$, on a d'après mon dernier message:$$\mathrm{Gal}(P_1P_2/k)\simeq\mathrm{Gal}(KL(\alpha)/KL)\times_{\mathrm{Gal}(KL(\alpha)\cap KL(\beta)/KL)}\mathrm{Gal}(KL(\beta)/KL).$$On a déjà vu que $\mathrm{Gal}(KL(\alpha)/KL)\simeq\mathrm{Gal}(P_1/k)$ et $\mathrm{Gal}(KL(\beta)/KL)\simeq\mathrm{Gal}(P_2/k)$.
Il est clair qu'on a aussi $\mathrm{Gal}(KL(\alpha)\cap KL(\beta)/KL)=\mathrm{Gal}(KL(\alpha)\cap KL(\beta)/k)$.
Et puis je fais comme toi !
On a la tour d'extensions $k\subset K(\alpha)\cap L(\beta)\subset KL(\alpha)\cap KL(\beta)$.
Or, $k\subset KL(\alpha)$ et $k\subset KL(\beta)$ sont normales donc $k\subset KL(\alpha)\cap KL(\beta)$ est normale.
De même, $k\subset K(\alpha)\cap L(\beta)$ est normale.
De plus, $K(\alpha)\cap L(\beta)\subset KL(\alpha)\cap KL(\beta)$ est purement inséparable donc :$$\begin{align*}|\mathrm{Gal}(KL(\alpha)\cap KL(\beta)/k)|&=[KL(\alpha)\cap KL(\beta):k]_s\\&=[KL(\alpha)\cap KL(\beta):K(\alpha)\cap L(\beta)]_s\times [K(\alpha)\cap L(\beta):k]_s\\&=|\mathrm{Gal}(K(\alpha)\cap L(\beta)/k)|. \end{align*}$$Donc le morphisme de restriction (clairement injectif) $\mathrm{Gal}(KL(\alpha)\cap KL(\beta)/k)\to\mathrm{Gal}(K(\alpha)\cap L(\beta)/k)$ est un isomorphisme. D'où :$$\mathrm{Gal}(P_1P_2/k)\simeq\mathrm{Gal}(P_1/k)\times_{\mathrm{Gal}(D_k(P_1)\cap D_k(P_2)/k)}\mathrm{Gal}(P_2/k).$$Je vais finir par me planter (:P)
Finalement tu as pu généraliser le théorème de la page 29 de http://www.normalesup.org/~sage/Enseignement/Cours/Galois.pdf B-)-
PS. pratiques ces degrés séparables...
Il faut quand même montrer que tous ces isomorphismes passent bien au produit fibré, à savoir que $$\mathrm{Gal}(KL(\alpha)/KL)\times_{\mathrm{Gal}(KL(\alpha)\cap KL(\beta)/KL)}\mathrm{Gal}(KL(\beta)/KL)\simeq\mathrm{Gal}(P_1/k)\times_{\mathrm{Gal}(D_k(P_1)\cap D_k(P_2)/k)}\mathrm{Gal}(P_2/k).$$De la gauche vers la droite, $f:(\sigma_1,\sigma_2)\mapsto (\sigma_1|K(\alpha),\sigma_2|L(\beta))$ est un morphisme injectif.
Montrons qu'il est surjectif.
Soit $(\tau_1,\tau_2)$ dans le groupe de droite.
Comme le morphisme de restriction $\mathrm{Gal}(KL(\alpha)/KL)\to\mathrm{Gal}(K(\alpha)/k)$ est un isomorphisme, il existe un unique $\sigma_1\in\mathrm{Gal}(KL(\alpha)/KL)$ tel que $\sigma_1|K(\alpha)=\tau_1$.
De même, il existe un unique $\sigma_2\in\mathrm{Gal}(KL(\beta)/KL)$ tel que $\sigma_2|L(\beta)=\tau_2$.
De plus, $\tau_1\tau_2^{-1}|K(\alpha)\cap L(\beta)=\mathrm{Id}$ donc, comme le morphisme de restriction $\mathrm{Gal}(KL(\alpha)\cap KL(\beta)/KL)\to\mathrm{Gal}(K(\alpha)\cap L(\beta)/k)$ est un isomorphisme, on a $\sigma_1\sigma_2^{-1}|KL(\alpha)\cap KL(\beta)=\mathrm{Id}$.
Donc $(\sigma_1,\sigma_2)$ est dans le groupe de gauche et $f$ est surjective.
Pratiques les relèvements ;-)
Oui j'avais remarqué, mais j'avais décidé de te faire confiance, par flemme B-)-
On prend $k=\mathbb{F}_2(Y)$, $P_1= X^4+X^2Y+Y$ et $P_2=X^4+X^2Y^2+Y$.
Les polynômes $P_1$ et $P_2$ sont irréductibles par Eisenstein.
De plus dans une clôture algébrique on a :
$P_1(X)=(X^2+X\sqrt{Y}+\sqrt{Y})^2$ et $P_2(X)=(X^2+XY+\sqrt{Y})^2$
ce qui montre que :
1) $\sqrt{Y}\in D_k(P_1)\cap D_k(P_2)$
2) $P_1$ et $P_2$ ont exactement deux racines distinctes
Donc $\mathrm{Gal}(P_1/k)\simeq C_2\simeq \mathrm{Gal}(P_2/k)$.
De plus $D_k(P_1)\cap D_k(P_2) = k(\sqrt{Y})$ et par conséquent $\mathrm{Gal}(D_k(P_1)\cap D_k(P_2)/k)\simeq \{id\}$
et donc $\mathrm{Gal}(P_1P_2/k)\simeq \mathrm{Gal}(P_1/k)\times_{\mathrm{Gal}(D_k(P_1)\cap D_k(P_2)/k)}\mathrm{Gal}(P_2/k)\simeq C_2\times C_2$.
Bof, pas terrible. Mais si tu as mieux et que tu n'as pas la flemme n'hésite pas...
Avec van Kampen on a un produit amalgamé et ici un produit fibré mais autrement c'est "pareil".
Il y a une référence que je possède "Algèbre et théories galoisiennes" des Douady qui démontrent ce théorème !
Mais bon, je ne sais rien en topologie algébrique.
Et toi ?
La partie ciblée ici est celle qui parle du groupe fondamental. C'est un groupe associé à un espace topologique $X$ et à un point $x\in X$. Tu considères l'ensemble des lacets basés en $x$ (les applications continues $\gamma:[0,1]\to X$ vérifiant $\gamma(0)=\gamma(1)=x$) et tu peux définir un produit sur l'ensemble des lacets : $\gamma_1\cdot \gamma_2$ étant simplement le lacet obtenu en "suivant" d'abord $\gamma_1$ puis $\gamma_2$.
Bref, tu obtiens une structure de groupe (le groupe fondamental) en quotientant tout ça par une relation d'équivalence adéquate et voilà.
Mais en super résumé et sans être très précis sur l'énoncé, le Théorème de van Kampen dit que le groupe fondamental de l'union de deux sous-espaces est égal au produit amalgamé des groupes fondamentaux de chaque partie au dessus de l'intersection. Comme ici : le groupe de Galois du produit est égal au produit fibré des groupes de Galois de chaque facteur au dessus de l'intersection.
Les deux résultats sont très ressemblants je trouve.
Tu m'as en tout cas donné envie d'explorer leur livre plus sérieusement.
Ceci dit, avec Claude Quitté et flipflop, on avait pas mal regardé certains aspects géométriques de la théorie de Galois dans [ce fil monumental] :-D
Ceci-dit j'ai regardé un peu le Douady (on le trouve facilement...) et il faut un bon niveau on dirait. Mais peut-être effectivement qu'il y a un lien "fonctoriel" qui fait qu'on obtient une traduction entre les deux résultats (van Kampen et le résultat de ce fil).
La deuxième partie de ce message semble s'approcher de ce sujet : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,480985,481018#msg-481018
On est des dingues 80 pages
C’est intéressant d’un point de vue didactique de voir comment les arguments surgissent « en temps réel » dans la discussion.
…
et sinon flipflop, gai requin un petit résumé rapide de ces 80 pages en 2-3 lignes ?
et pourquoi cette discussion s'est terminée un peu abruptement en septembre 2017 ?
Au tout début :-D, on travaillait la correspondance entre les corps de fonctions du type $k(x)$ (donc de l'algèbre) et les revêtements $\mathbb P^1(k)\to\mathbb P^1(k)$ (donc de la géométrie) (voir [ici]).
Et puis on s'est amusés 80 pages sur tout et n'importe quoi :-)
bon je m'en retourne plus modestement à ma lecture du Gozard que j'ai depuis des années sans jamais avoir touché à certaines parties (la majorité en fait... B-)-)