L'équation $\cos(r\pi)=\sqrt{k+1}-\sqrt k$
Bonjour,
on souhaite montrer qu'il n'existe pas de rationnel $r$ et d'entier $k>0$ tels que $\cos(r \pi)=\sqrt{k+1}-\sqrt{k}$. Je sais le faire de la manière suivante.
Supposons qu'un tel couple $(r, k)$ existe. Notons $n$ le dénominateur dans l'écriture sous forme irréductible de $r$. Si $n=1$ alors $\cos(r\pi)=\pm 1$ et $\sqrt{k+1}-\sqrt{k}=\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}} \in ]0, 1[$, ce qui est contradictoire. Ainsi, $n \geqslant 2$.
Alors, $\cos(r \pi)$ est racine du polynôme de Tchebychev de second espèce $U_{n-1}\in\mathbb{Z}[X]$. Mais, par ailleurs, on montre facilement que le polynôme minimal $\mu$ de $\sqrt{k+1}-\sqrt{k}$ sur $\mathbb{Q}$ est $X^2+2\sqrt{k}X-1$ si $k$ est un carré parfait, $X^2-2\sqrt{k+1}+1$ si $k+1$ est un carré parfait et $X^4-(4k+2)X^2+1$ dans les autres cas. Ainsi, $\mu$ divise $U_{n-1}$, ce qui est absurde car $\sqrt{k+1}+\sqrt{k}>1$ ou $-\sqrt{k+1}-\sqrt{k}<-1$ est racine de $\mu$ alors que les racines de $U_{n-1}$ sont toutes dans $[-1, 1]$.
Cet exercice a été posé à l'oral des Mines en 2003 (source : RMS n°113) et je doute que la méthode précédente soit celle attendue. Auriez-vous une idée de résolution plus en adaquation avec le programme de MP ?
Merci d'avance,
LP
on souhaite montrer qu'il n'existe pas de rationnel $r$ et d'entier $k>0$ tels que $\cos(r \pi)=\sqrt{k+1}-\sqrt{k}$. Je sais le faire de la manière suivante.
Supposons qu'un tel couple $(r, k)$ existe. Notons $n$ le dénominateur dans l'écriture sous forme irréductible de $r$. Si $n=1$ alors $\cos(r\pi)=\pm 1$ et $\sqrt{k+1}-\sqrt{k}=\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}} \in ]0, 1[$, ce qui est contradictoire. Ainsi, $n \geqslant 2$.
Alors, $\cos(r \pi)$ est racine du polynôme de Tchebychev de second espèce $U_{n-1}\in\mathbb{Z}[X]$. Mais, par ailleurs, on montre facilement que le polynôme minimal $\mu$ de $\sqrt{k+1}-\sqrt{k}$ sur $\mathbb{Q}$ est $X^2+2\sqrt{k}X-1$ si $k$ est un carré parfait, $X^2-2\sqrt{k+1}+1$ si $k+1$ est un carré parfait et $X^4-(4k+2)X^2+1$ dans les autres cas. Ainsi, $\mu$ divise $U_{n-1}$, ce qui est absurde car $\sqrt{k+1}+\sqrt{k}>1$ ou $-\sqrt{k+1}-\sqrt{k}<-1$ est racine de $\mu$ alors que les racines de $U_{n-1}$ sont toutes dans $[-1, 1]$.
Cet exercice a été posé à l'oral des Mines en 2003 (source : RMS n°113) et je doute que la méthode précédente soit celle attendue. Auriez-vous une idée de résolution plus en adaquation avec le programme de MP ?
Merci d'avance,
LP
Réponses
-
On a $\cos(2r\pi)=(4k+1)-\sqrt{16k(k+1)}$.
On constate que si $\cos\theta = a-\sqrt{b}$ où $a>0$ est un entier impair et $b>0$ est entier qui n'est pas un carré parfait, alors $\cos(2\theta)=a'-\sqrt{b'}$ où $a'=2a^2+2b-1>a$ et $b'=4a^2b$ vérifient des propriétés analogues avec $b'>b$.
Or il existe des entiers $n>m>1$ tels que $\cos (2^n r\pi)=\cos(2^m r\pi)$ donc on a une égalité de la forme $a-\sqrt{b}=a'-\sqrt{b'}$ avec $a'>a$ et $b'>b$. En isolant $\sqrt{b'}$ et en élevant au carré on obtient une contradiction. -
Merci JLT pour ta réponse qui est beaucoup plus simple en effet !
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.2K Toutes les catégories
- 9 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 65 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 314 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 773 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres