0 divise 0 !!!

oui

C'est correct. Dans $\Z$, $0$ divise $0$ aussi. C'est vrai dans n'importe quel anneau.

Le problème n'est pas que $0$ divise $0$. Le problème serait plutôt que $0$ divise $1$ : dans ce cas, $0$ serait inversible, $0=1$,...

Dans l'autre sens, il existe la notion de "diviseurs de $0$" : c'est quand $xy=0$ alors que ni $x$, ni $y$ ne valent $0$. Les anneaux intègres sont les anneaux "sympathiques" dans ce sens-là : ce sont les anneaux commutatifs dans lesquels il n'y a aucun diviseur de zéro. Et à l'opposé du spectre, il y a l'anneau des matrices, qui n'est pas commutatif et dans lequel il y a plein de diviseurs de zéro.

EDIT : en effet, la définition est douteuse. Mais que le polynôme $0$ divise le polynôme $0$, ça, ce n'est pas un problème.

Curieuse la définition de divisibilité !
Est-ce bien un réel $a$ ? Je pense que c'est plutôt : il existe un polynôme $A$ tel que $P=AQ$.