Fonction à valeurs complexes

arnmub
arnmub
dans Algèbre
Bonjour à tous,
Soit $f:\mathbb{C}\mapsto\mathbb{C}$ une fonction à valeurs complexes vérifiant $f(x+y)=f(x)+f(y)$ et $f(e^x)=e^{f(x)}$ pour tout $(x,y)\in\mathbb{C}^2$.
Montrer que $f(\sqrt{2})=\sqrt{2}$.
Merci.

Réponses

  • JLapin
    JLapin
    Commence par calculer $f(0)$, puis $f(1)$, puis $f(2)$ puis $f(\sqrt 2)$ en utilisant la forme exponentielle de $\sqrt 2$.
  • Homo Topi
    Homo Topi
    Simple curiosité, d'où vient cet exercice ?
  • bisam
    bisam
    JLapin : Je ne vois pas de moyen simple pour exclure $f(\sqrt{2})=-\sqrt{2}$.
    On peut montrer que $f$ est automorphisme du corps $\C$... mais il n'est pas forcément continu.

    Quel est ton argument ?

    arnmub : Qu'as-tu réussi à faire jusqu'à présent ?
  • JLapin
    JLapin
    $f(\sqrt 2)=f(\exp(1/2\ln(2)))=\exp(f(1/2\ln(2)))=\exp(1/2f(\ln 2))$

    Et la connaissance de $f(2)$ donne celle de $f(\ln 2)$.
  • bisam
    bisam
    Non : la connaissance de $f(2)$ donne celle de $f(\ln(2))$ à $2i\pi$ près... et cela ne suffit donc pas pour conclure.
  • JLapin
    JLapin
    Ah, zut !
  • bisam
    bisam
    Après réflexion, il semblerait que cet énoncé soit beaucoup moins simple qu'il n'y paraît !

    Voici quelques résultats.
    • Puisque $f$ est additive, il est classique qu'elle soit $\Q$-linéaire.
    • Puisque $f(1)=\exp(f(0))=\exp(0)=1$, on en déduit que $f$ est l'identité sur $\Q$.
    • On en déduit également qu'elle est l'identité sur $\Q(e)$ et plus généralement encore sur $\bigcup_{n\in\N^*} \Q(e^{\frac{1}{n}})$.
    • Par surjectivité de l'exponentielle de $\C$ sur $\C^*$, pour tout $(x,y)\in (\C^*)^2$, il existe $(a,b)\in\C^2$ tels que $x=\exp(a)$ et $y=\exp(b)$ et donc \[f(xy)=f(e^a e^b)=f(e^{a+b})=e^{f(a+b)}=e^{f(a)+f(b)}=e^{f(a)}e^{f(b)}=f(e^a)f(e^b)=f(x)f(y)\]
    • Évidemment, si $x=0$ ou $y=0$ alors $f(xy)=f(0)=0=f(x)f(y)$.
    • Ainsi, $f$ est un endomorphisme du corps $\C$. De plus, il est injectif car si $z\neq 0$, il existe $x\in\C$ tel que $z=e^x$ et donc $f(z)=\exp(f(x))\neq 0$.
    • $-1=f(-1)=f(i^2)=(f(i))^2$ donc $f(i)\in\{-i,i\}$.
    • Plus généralement, si $a$ est algébrique sur $\Q$ alors $f(a)$ est l'une des racines du polynôme minimal de $a$.

    En revanche, on ne sait pas si l'endomorphisme $f$ est surjectif.

    Si on rajoute des propriétés, on arrive à conclure.
    Par exemple, si on suppose que $f(\R)\subset \R$ :
    • Si $x\in\R^+$ alors $f(x)=f(\sqrt{x}\sqrt{x})=(f(\sqrt{x}))^2\in\R^+$ puisque $f(\sqrt{x})\in\R$. Ainsi $f(\R^+)\subset\R^+$.
    • Pour $(x,y)\in\R^2$, si $x\leq y$ alors $f(y)=f(y-x)+f(x)\geq f(x)$ car $y-x\geq 0$. Donc la restriction de $f$ à $\R$ est croissante.
    • Avec le fait que $f$ est l'identité sur $\Q$ et la densité de $\Q$ dans $\R$, on en déduit que $f$ est l'identité sur $\R$ (en particulier $f(\sqrt{2})=\sqrt{2}$).
    • Puisque $f(i)\in\{-i,i\}$, par morphisme de corps, on conclut que $f$ est soit l'identité, soit la conjugaison.
  • etanche
    etanche
    Aurait-on pu remplacer $\sqrt{2}$ par $\sqrt{3}$ , $\pi$?
  • Maulpy
    Maulpy
    Bonsoir
    Concernant la ligne
    'avec le fait que $f$ est l'identité sur $\Q$ et la densité de $\Q$ dans $\R$, on en déduit que $f$ est l'identité sur $\R$'
    du message de bisam, il faudrait une hypothèse de continuité sur $f$, mais je ne vois pas d'où elle provient ?
    Ou bien y a-t-il un autre moyen d'utiliser la densité ?
  • JLapin
    JLapin
    Utilise la croissance à la place de la continuité.
  • sol
    sol
    Des idées pour se passer d'hypothèse supplémentaire ? En tout cas la continuité n'est pas nécessaire : il suffit que f(2^(1/4)) soit réel pour conclure.

    Notons que sans hypothèse on a déjà f(f(2^(1/2)) = 2^(1/2).
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