Sous-espace vectoriel maximal
Bonjour,
J'aimerais savoir quelle est la dimension maximale $p_n$ d'un sous-espace vectoriel de l'ensemble des matrices diagonalisables de $M_n(\mathbb{C})$. En dimension $3$ je sais prouver que $p_3 \geq 3$ en considérant l'ensemble des matrices circulantes :
\begin{equation*}
\{\begin{pmatrix}
a & b & c \\
c & a & b \\
b & c & a
\end{pmatrix} \mid a,b,c \text{ dans } \mathbb{C}\}
\end{equation*}
qui est un espace vectoriel de dimension 3 composé de matrices diagonalisables. Le même argument donne $p_n \geq n$ en dimension $n$ mais il est probablement possible de faire mieux puisque dans ces exemples, les matrices sont non seulement diagonalisables mais ont en plus une base commune de diagonalisation.
J'aimerais savoir quelle est la dimension maximale $p_n$ d'un sous-espace vectoriel de l'ensemble des matrices diagonalisables de $M_n(\mathbb{C})$. En dimension $3$ je sais prouver que $p_3 \geq 3$ en considérant l'ensemble des matrices circulantes :
\begin{equation*}
\{\begin{pmatrix}
a & b & c \\
c & a & b \\
b & c & a
\end{pmatrix} \mid a,b,c \text{ dans } \mathbb{C}\}
\end{equation*}
qui est un espace vectoriel de dimension 3 composé de matrices diagonalisables. Le même argument donne $p_n \geq n$ en dimension $n$ mais il est probablement possible de faire mieux puisque dans ces exemples, les matrices sont non seulement diagonalisables mais ont en plus une base commune de diagonalisation.
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Réponses
Est ce que la somme de deux matrices diagonalisables dans deux bases différentes est diagonalisable ?
Cordialement,
Rescassol
Considère, avant toute chose, $A+B$ où $A=\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}$.
https://agreg.org/data/uploads/sujets/MG/MG09.pdf
125e année – no1 - novembre 2014
Le théorème de Motzkin-Taussky, Clément de SEGUINS PAZZIS