Sous-espace vectoriel maximal
Bonjour,
J'aimerais savoir quelle est la dimension maximale $p_n$ d'un sous-espace vectoriel de l'ensemble des matrices diagonalisables de $M_n(\mathbb{C})$. En dimension $3$ je sais prouver que $p_3 \geq 3$ en considérant l'ensemble des matrices circulantes :
\begin{equation*}
\{\begin{pmatrix}
a & b & c \\
c & a & b \\
b & c & a
\end{pmatrix} \mid a,b,c \text{ dans } \mathbb{C}\}
\end{equation*}
qui est un espace vectoriel de dimension 3 composé de matrices diagonalisables. Le même argument donne $p_n \geq n$ en dimension $n$ mais il est probablement possible de faire mieux puisque dans ces exemples, les matrices sont non seulement diagonalisables mais ont en plus une base commune de diagonalisation.
J'aimerais savoir quelle est la dimension maximale $p_n$ d'un sous-espace vectoriel de l'ensemble des matrices diagonalisables de $M_n(\mathbb{C})$. En dimension $3$ je sais prouver que $p_3 \geq 3$ en considérant l'ensemble des matrices circulantes :
\begin{equation*}
\{\begin{pmatrix}
a & b & c \\
c & a & b \\
b & c & a
\end{pmatrix} \mid a,b,c \text{ dans } \mathbb{C}\}
\end{equation*}
qui est un espace vectoriel de dimension 3 composé de matrices diagonalisables. Le même argument donne $p_n \geq n$ en dimension $n$ mais il est probablement possible de faire mieux puisque dans ces exemples, les matrices sont non seulement diagonalisables mais ont en plus une base commune de diagonalisation.
Réponses
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Bonjour,
Est ce que la somme de deux matrices diagonalisables dans deux bases différentes est diagonalisable ?
Cordialement,
Rescassol -
Bonjour,
Considère, avant toute chose, $A+B$ où $A=\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}$. -
Le théorème de Taussky-Motzkin implique que $p_n=n$.
-
Si on remplace $\C$ par $\R$, on a $p_n\geq \dfrac{n(n+1)}2$ mais je n'en sais pas plus.
-
L'ensemble des matrices diagonalisables n'étant pas un sous-espace vectoriel de ${\rm M}_n (\C )$ (cf. les autres messages), il vaudrait mieux reformuler la question en : "Quelle est la dimension maximale d'un sous-espace de ${\rm M}_n (\C )$ formé de matrices diagonalisables ?"
-
Dans mon souvenir, le résultat est loin d'être trivial. Cette question est traitée dans l'épreuve de Mathématiques Générales de l'écrit de l'agrégation externe 2009.
https://agreg.org/data/uploads/sujets/MG/MG09.pdf -
Il y a aussi [Jean Fresnel] la même année !
-
numéro 125-1 de la RMS
125e année – no1 - novembre 2014
Le théorème de Motzkin-Taussky, Clément de SEGUINS PAZZIS -
Merci Chaurien et Gay Requin. J'avais donné cette épreuve d'agrégation à mes agrégatifs, il y a quelques années.
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Merci pour à tous pour vos références ! Si ma question initiale était ambiguë, je cherchais effectivement la dimension maximale d'un sous-espace vectoriel inclus dans l'ensemble des matrices diagonalisables de $M_n(\mathbb{C})$.
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Dans $\R$ la réponse est $\dfrac{n(n+1)}{2}$ et c’est relativement facile à montrer : il suffit d’utiliser les matrices symétriques et les matrices triangulaires strictement supérieures.
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Bonjour!
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