Sous-espace vectoriel maximal

Bonjour,

J'aimerais savoir quelle est la dimension maximale $p_n$ d'un sous-espace vectoriel de l'ensemble des matrices diagonalisables de $M_n(\mathbb{C})$. En dimension $3$ je sais prouver que $p_3 \geq 3$ en considérant l'ensemble des matrices circulantes :
\begin{equation*}
\{\begin{pmatrix}
a & b & c \\
c & a & b \\
b & c & a
\end{pmatrix} \mid a,b,c \text{ dans } \mathbb{C}\}
\end{equation*}
qui est un espace vectoriel de dimension 3 composé de matrices diagonalisables. Le même argument donne $p_n \geq n$ en dimension $n$ mais il est probablement possible de faire mieux puisque dans ces exemples, les matrices sont non seulement diagonalisables mais ont en plus une base commune de diagonalisation.