Clôture algébrique des rationnels

Rebonjour,

Du coup voici la preuve que j'écrirais, pourriez-vous me dire si cela est correct s'il vous plait ?

Soit $\overline{\mathbb{Q}}$ l'ensemble des complexes qui sont algébriques sur $\mathbb{Q}$./ Montrons que $\overline{\mathbb{Q}}$ est algébriquement clos.
- $\mathbb{Q} \subset \overline{\mathbb{Q}} $ est algébrique par définition
- Montrons que $\overline{\mathbb{Q}}$ est algébriquement clos :
Soit $P \in \overline{\mathbb{Q}}[X]$ de degré >=1, montrons que $P$ a une racine dans $\overline{\mathbb{Q}}$ .
On a $\overline{\mathbb{Q}} \subset \mathbb{C}$ et $\mathbb{C}$ est algébriquement clos donc $P$ admet une racine $\alpha \in \mathbb{C}$ .
Comme $\mathbb{Q} \subset \overline{\mathbb{Q}} $ est algébrique, alors $\alpha$ est algébrique sur $\overline{\mathbb{Q}}$. Donc par définition de $\overline{\mathbb{Q}}$, $\alpha$ est algébrique sur $\mathbb{Q}$, donc $\alpha \in \overline{\mathbb{Q}}$. Donc $P$ a une racine dans $\overline{\mathbb{Q}}$ .
Finalement, $\overline{\mathbb{Q}}$ est algébriquement clos, ce qui achève la démonstration.

Y a-t-il une autre méthode pour démontrer ceci ?
Merci et bonne soirée

ah bon, lequel ?

Si je rajoute que $\mathbb{Q}\subset \overline{\mathbb{Q}} \subset \mathbb{C}$ et $\alpha$ algébrique sur $\mathbb{C}$ donc $\alpha$ algébrique sur $\mathbb{Q}$ ?