Clôture algébrique des rationnels
Bonjour
Certains d’entre vous sauraient-ils où est-ce que je peux trouver une démonstration « propre » du fait que l’ensemble des nombres algébriques est une clôture algébrique du corps de rationnels ?
J’ai écumé tous les livres d’algèbre à ma connaissance (Perrin, Gozart, Berhuy, Rombaldi) et ça n’est jamais démontré, juste cité à titre d’exemple.
Merci, bonne journée.
Certains d’entre vous sauraient-ils où est-ce que je peux trouver une démonstration « propre » du fait que l’ensemble des nombres algébriques est une clôture algébrique du corps de rationnels ?
J’ai écumé tous les livres d’algèbre à ma connaissance (Perrin, Gozart, Berhuy, Rombaldi) et ça n’est jamais démontré, juste cité à titre d’exemple.
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Réponses
... alors j'ai écrit ce que j'aurais voulu lire.
https://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_number#Properties
Du coup voici la preuve que j'écrirais, pourriez-vous me dire si cela est correct s'il vous plait ?
Soit $\overline{\mathbb{Q}}$ l'ensemble des complexes qui sont algébriques sur $\mathbb{Q}$./ Montrons que $\overline{\mathbb{Q}}$ est algébriquement clos.
- $\mathbb{Q} \subset \overline{\mathbb{Q}} $ est algébrique par définition
- Montrons que $\overline{\mathbb{Q}}$ est algébriquement clos :
Soit $P \in \overline{\mathbb{Q}}[X]$ de degré >=1, montrons que $P$ a une racine dans $\overline{\mathbb{Q}}$ .
On a $\overline{\mathbb{Q}} \subset \mathbb{C}$ et $\mathbb{C}$ est algébriquement clos donc $P$ admet une racine $\alpha \in \mathbb{C}$ .
Comme $\mathbb{Q} \subset \overline{\mathbb{Q}} $ est algébrique, alors $\alpha$ est algébrique sur $\overline{\mathbb{Q}}$. Donc par définition de $\overline{\mathbb{Q}}$, $\alpha$ est algébrique sur $\mathbb{Q}$, donc $\alpha \in \overline{\mathbb{Q}}$. Donc $P$ a une racine dans $\overline{\mathbb{Q}}$ .
Finalement, $\overline{\mathbb{Q}}$ est algébriquement clos, ce qui achève la démonstration.
Y a-t-il une autre méthode pour démontrer ceci ?
Merci et bonne soirée
demanderait des précisions.
Pour moi il manque un argument pour dire que $\alpha$ est algébrique sur $\mathbb{Q}$.
La transitivité de l'algébricité dit que si $K\subset L\subset M$ est une tour d'extension et si $L/K$ et $M/L$ sont algébriques alors $M/K$ est algébriques (et réciproquement).
Tu dois trouver le moyen d'exploiter correctement ce résultat connu.
j'ai $\mathbb{Q} \subset \overline{\mathbb{Q}}$ est algébrique mais c'est tout
Il faut donc trouver ce $M$...
je dirais que $M=\mathbb{C}$ mais j'ai l'impression que cela revient à dire ce que j'ai déjà dit dans mon post d'il y a 30 min, qui était donc faux
Quelle est la plus "petite" extension de $\overline{\mathbb{Q}}$ qui contient $\alpha$ ?
PS. je me rends compte que je viens de donner la réponse... :-D
$\overline{\mathbb{Q}}(\alpha)$?
On a la tour d'extensions $\mathbb{Q}\subset \overline{\mathbb{Q}}\subset \overline{\mathbb{Q}}(\alpha)$ avec $\overline{\mathbb{Q}}(\alpha)/ \overline{\mathbb{Q}}$ algébrique et on peut appliquer la transitivité de l'algébricité.
Ou faire comme dit Foys ci-dessus.