Dominant de cent coudées les philosophes des lumières, Sade fut le penseur le plus pénétrant de son temps. (Lautréamont)
Reste de la division d'un polynôme
dans Algèbre
Bonjour
On se donne le polynôme $P(X)$ et les nombres $a, b, c$ (distincts ou non) ; trouver le reste de la division de $P(X)$ par $(X - a)(X - b)(X - c)$ sans effectuer la division. (X 1880)
A+
On se donne le polynôme $P(X)$ et les nombres $a, b, c$ (distincts ou non) ; trouver le reste de la division de $P(X)$ par $(X - a)(X - b)(X - c)$ sans effectuer la division. (X 1880)
A+
Réponses
-
Bonsoir,
Ben, le reste est du second degré au maximum et prend les mêmes valeurs que $P$ pour $x=a,b$ ou $c$, donc on a un système linéaire $3\times 3$.
Cordialement,
Rescassol -
Et la matrice de ce système est une matrice de Vandermonde. On peut introduire les polynômes d'interpolation de Lagrange pour le résoudre. Si d'aventure $c=(a+b)/2$, on peut dire que \[\frac{1}{b-a}\int_a^bP=\frac16P(a)+\frac23P(c)+\frac16P(b),\]c'est la « formule des trois niveaux » qui conduit à la méthode de Simpson.
-
L'écriture suivante de ce reste quand $a,b,c$ sont deux à deux distincts permet de traiter (par continuité) les cas où $a,b,c$ ne sont pas distincts :$$P(a)+\frac{P(b)-P(a)}{b-a}(X-a)+\frac{\frac{P(c)-P(a)}{c-a}-\frac{P(b)-P(a)}{b-a}}{c-b}(X-a)(X-b)$$Par exemple, si $a=b$ et $a\neq c$, ce reste vaut :$$P(a)+P'(a)(X-a)+\frac{P(c)-P(a)-(c-a)P'(a)}{(c-a)^2}(X-a)^2$$Donc, si $a=b=c$, on retrouve :$$P(a)+P'(a)(X-a)+\frac{P''(a)}2(X-a)^2$$
-
RE
Belle idée de déduire les cas spéciaux du résultat général.
Personnellement, j'avais dérivé une ou deux fois le trinôme-reste et égalé icelui à $P'(a)$ ou à $P''(a)$ en $a$, etc.
A+Dominant de cent coudées les philosophes des lumières, Sade fut le penseur le plus pénétrant de son temps. (Lautréamont) -
RE
En fait, le résultat pour $a = b = c$ découle directement de la formule de Taylor pour les polynômes.
Peut-on donc considérer l'exercice comme l'esquisse d'une généralisation de la formule de Taylor ?
A+Dominant de cent coudées les philosophes des lumières, Sade fut le penseur le plus pénétrant de son temps. (Lautréamont) -
Oui, c'est pour ça que j'ai dit "On retrouve".
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 8 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres