Forme des permutations dans $\mathfrak S_4$
Bonjour, dans $\mathfrak S_3$ je veux bien voir que les permutations prennent tous une des formes suivantes
Je ne sais pas si j'ai la bonne méthode et je me suis un peu perdu vers la fin, merci pour votre aide.
- $id$
- $(12)$
- $(123)$
- Si ma permutation ne fixe aucun élément j'ai forcément un 3-cycle
- Idem pour un seul élément alors j'ai une transposition
- Idem plus que 2 alors l'identité
- $id$
- $(12)$ les transpositions
- $(123)$ les 3-cycles
- $(12)(34)$ les doubles transpositions
- $(1234)$ les 4-cycles
- 1 seule transposition c-à-d on a les transpositions
- 2 transpositions: On regarde si on a un élément en commun: Si oui, on a un 3-cycle, sinon on a juste une double transposition (p.ex $(12)(34)$)
- 3 transpositions: On a forcément une paire de transpositions avec un élément en commun ce qui nous donne au moins un 3-cycle.
L'autre transposition restante a forcément aussi un élément en commun avec ce 3-cycle obtenu ce qui donne
-Un 4 cycle (si on a 1 seul élément en commun)
-Un élément de $\mathfrak S_3$ (si on a 2 éléments en commun) - 4 transpositions: On a par exemple $(12)(23)(34)(41)$, on souligne les 3 premières transpositions ce qui nous permet d'utiliser l'argument précédent, on se ramène aux cas précédents mais cette fois avec peut être un nouveau cas si on a obtenu un 4-cycle avec les 3 premières transpositions. Le produit d'un 4-cycle et d'une transposition par contre je ne vois pas très bien...
Je ne sais pas si j'ai la bonne méthode et je me suis un peu perdu vers la fin, merci pour votre aide.
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Réponses
Tu peux aussi compter celles que tu as listées. Si tu en as $24$, tu n'as rien oublié.
Cordialement,
Rescassol
Rescassol: Oui on peut compter, j'a essayé mais il y a un problème: Par exemple pour les transpositions ok on a 2 parmi 4 donc 6, idem pour les 3-cycles je pense. Mais pour les 4-cycles on compte comment sans retomber sur une des formes précédentes?
Au bilan, cela fait $\binom{n}r(r-1)!=\dfrac{n!}{r\cdot(n-r)!}$ cycles de longueur $r$ dans $\mathfrak{S}_n$.
Il y en a donc certaines comptées en trop mais lesquelles ?
Merci.
Un argument plus formel ? À une $r$-liste $(i_1,\dots,i_r)\in\{1,\dots,n\}^r$ dont tous les éléments sont distincts, c'est-à-dire un arrangement de $r$ parmi $n$, on associe le $r$-cycle $(i_1\,i_2\,\cdots\,i_r)$. Combien d'antécédents possède un $r$-cycle donné ? Il en a $r$, ce sont les $r$-listes $(i_{k+1},i_{k+2},\dots,i_{k+r})$ pour $k=0,\dots,r-1$, où les indices sont compris modulo $r$ (i.e. $i_{r+1}=i_1$, $i_{r+2}=i_2$, etc.). (Il faudrait justifier qu'il n'y en a pas d'autres.)
Il y a $\frac{n!}{(n-r)!}$ listes et donc $\frac{n!}{r\cdot(n-r)!}$ cycles de longueur $r$.