Fermeture transitive B+ d'une relation B

Il faut mettre $(x,z)$ dans $B^+$.

$B$ est un sous-ensemble de $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$. Il s'écrit
$$B=\{(x,2x)\mid x\in\mathbb{N}\}.
$$ Cette relation n'est effectivement pas transitive, on rajoute donc tous les couples $(x,y)$ dont on a besoin pour que la relation devienne transitive. Par exemple, $B$ contient tous les éléments de la formes $(2x,4x)$, dans $B^+$, on trouvera donc $(x,4x)$. De la même manière, dans $B^+$ il y a les éléments de la forme $(x,4x)$ et $(4x,8x)$, on trouvera donc aussi $(x,8x)$...
Il semblerait que $B^+$ doive contenir tous les $(x,2^n x)$ pour $x,\ n\in\mathbb{N}$.
Maintenant concernant la méthode, est-ce que la nouvelle relation est transitive ? Par construction, ce serait la plus petite contenant $B$, et ce serait donc bien la "fermeture transitive"...

Bon courage !

On a dans $B$ les couples suivants (je représente le couple $(u,v)$ par une flèche de $u$ vers $v$) : \[\xymatrix{x\ar[r]&2x\ar[r]&4x\ar[r]&8x\ar[r]&16x\ar[r]&\cdots}\]Il faut donc mettre dans $B^+$ les flèches suivantes : \[\xymatrix{x\ar[r]\ar@/^1pc/[rr]\ar@/^2pc/[rrr]\ar@/^3pc/[rrrr]\ar@/^4pc/[rrrrr]&2x\ar[r]\ar@/^1pc/[rr]\ar@/^2pc/[rrr]\ar@/^3pc/[rrrr]&4x\ar[r]\ar@/^1pc/[rr]\ar@/^2pc/[rrr]&8x\ar[r]&16x\ar[r]&\cdots}\]