Endomorphisme et projecteurs

La question 2.1 est élémentaire :

Posons $P(X)=\displaystyle\sum_{k=0}^n a_k X^k$ alors $P(u)=\displaystyle\sum_{k=0}^n a_k u^k$

Mais alors $P(u)=\displaystyle\sum_{k=0}^n a_k \displaystyle\sum_{j=1}^m \lambda_j ^k p_j$

On peut intervertir les sommes car elles sont finies ainsi $P(u)=\displaystyle\sum_{j=1}^m \left( \displaystyle\sum_{k=0}^n a_k \lambda_j ^k \right) p_j$

Enfin $\boxed{P(u)=\displaystyle\sum_{j=1}^m P(\lambda_j) p_j}$

Un problème plus abordable que e3a ça existe ?

Noobey
Je ne cherche pas de corrigé juste des indications pour finir moi-même.

Je pense avoir trouvé l'idée avec l'indication de Raoul.S on va partir de $P(u)=0$ et trouver une condition sur $P$.

Je n'aime pas les sujets de sup des petites Mines ou de l'ENAC. Je ne les trouve pas intéressants et en plus j'ai envie de travailler des notions de spé aussi comme la réduction.
Je veux savoir si mes raisonnements sont corrects ou faux.

Je ne demande pas de l'aide à chaque question. J'ai réussi la question 2.1 seul.

D'après l'expression de $P(u)$, si $P(u)=0$ alors $\displaystyle\sum_{j=1}^m P(\lambda_j) p_j =0$

Soit $x \in E$ alors $x= x_1 + \cdots + x_m$ où $x_i \in E_{\lambda_i}$.

Soit $k \in [|1m|]$. On évalue en $x_k$ ce qui donne $\displaystyle\sum_{j=1}^m P(\lambda_j) p_j (x_k) =0$ ainsi $ P(\lambda_k) x_k=0$

Comme $x_k$ est un vecteur propre il est non nul donc $P(\lambda_k)=0$ pour tout $k \in [|1,m|]$.

Ainsi $P = U(X) \displaystyle\prod_{k=1}^m (X-\lambda_k)$ où $U$ est un polynôme.

Réciproquement, le polynôme $P(X)= \displaystyle\prod_{k=1}^m (X-\lambda_k)$ annule $u$ car $u- \lambda_k id_E =0$

Le polynôme $\boxed{P(X)= \displaystyle\prod_{k=1}^m (X-\lambda_k)}$ est scindé à racines simples et annule $u$.

Oui CCP semble plus intéressant quand même avec une difficulté modérée.

La suite est très classique. Seule la dernière question me semble plus compliquée.

Question 2.3.1 :
$\boxed{L_j(\lambda_i)= \delta_{ij}}$

Question 2.3.2 :
La famille $(L_j)_{1 \leq j \leq m}$ contient $m$ éléments et $\dim \C_{m-1}[X]=m$, il suffit de montrer que la famille est libre.

Supposons $\displaystyle\sum_{k=1}^m \lambda_k L_k =0$

On évalue en $\lambda_i$ et on trouve $\lambda_i =0$ pour tout $i \in [|1,m|]$.

Question 2.3.3 :
Soit $P \in \C_{m-1}[X]$ alors $P=\displaystyle\sum_{k=1}^m \lambda_k L_k $

Or $P(\lambda_i)=\lambda_i$ on en déduit $\boxed{P=\displaystyle\sum_{k=1}^m P(\lambda_k) L_k }$

Question 2.3.4 :

D'après ce qui précède $L_j(u)=\displaystyle\sum_{k=1}^m L_j(\lambda_k) p_k= p_j$

Dernière question :
Il faut démontrer $sp(u)= \{ \lambda_1, \cdots, \lambda_m \}$ par double inclusion.

Une est évidente d'après la question 2.2. On a $sp(u) \subset \{ \lambda_1, \cdots, \lambda_m \}$

L'autre semble plus difficile.

Gai Requin, je dois montrer que $\{ \lambda_1, \cdots, \lambda_m \} \in sp(u)$ et ça me semble difficile.

Ainsi, on doit montrer qu'il existe un $x_i \in E$ tel que $u(x_i)= \lambda_i x_i$ pour tout $i \in [|1,m|]$.

Je n'ai pas trop compris le rapport entre ton indication et la question.

$\lambda_j$ est valeur propre de $u$ si et seulement si il existe $x_j \ne 0$ tel que $u(x_j)= \lambda_j x_j$

$\lambda_j$ n'est pas valeur propre si et seulement si pour tout $x_j \ne 0$ on a $u(x_j) \ne \lambda_j x_j$

Gai Requin joli c'est un raisonnement par l'absurde je n'avais pas fait attention.

Le corrigé officiel fournit une méthode longue et fastidieuse et ne semble pas avoir vu ton idée ::o

Sans être difficile, cette dernière question nécessite une bonne intuition que je n'ai pas encore.