Polynômes réels positifs
Un résultat classique qu'on voit généralement en MPSI demande de montrer que pour tout $P\in\R[X]$, les assertions suivantes sont équivalentes :
1) $\forall x\in\R\quad P(x)\geqslant 0$.
2) $\exists (A,B)\in\R[X]^2\quad P=A^2+B^2$.
Je sais le montrer d'une certaine façon mais j'ai vu une potentielle autre résolution (pour le sens non trivial 1) $\implies$ 2)) qui suggère les trois questions ci-dessous (cf. capture d'écran).
Pour les deux premières questions, pas de problème. Mais pour la c) je ne vois pas.
1) $\forall x\in\R\quad P(x)\geqslant 0$.
2) $\exists (A,B)\in\R[X]^2\quad P=A^2+B^2$.
Je sais le montrer d'une certaine façon mais j'ai vu une potentielle autre résolution (pour le sens non trivial 1) $\implies$ 2)) qui suggère les trois questions ci-dessous (cf. capture d'écran).
Pour les deux premières questions, pas de problème. Mais pour la c) je ne vois pas.
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Réponses
une question pour t'aider : quels sont les polynômes irréductibles de $\R[X]$ ?
Ensuite utilises le fait que tu peux décomposer tout polynôme de $\R[X]$ en produit de polynômes irréductibles.
Le théorème fondamental des mathématiques "La 2ème question vient après la 1ère" possède de mutiples corollaires.
Cordialement,
Rescassol
Les polynômes irréductibles réels sont ceux de degré $1$ et de degré $2$ sans racine réelle (de discriminant strictement négatif).
Tout polynôme non nul réel peut s'écrire $P=a\prod_i (X-\alpha_i)^{k_i}\prod_j (X^2-\beta_j X+\gamma_j)^{l_j}$ avec $a\neq 0, \alpha_i$ les racines réelles de $P$ d'ordre $k_i\in\N^*$, $\beta_j^2-4\gamma_j\in\R_{-}^*$, $l_j\in\N^*$.
Comme $P$ est positif, $a\in\R_+^*$ (prendre l'équivalent de la fonction polynomiale en $+\infty$).
Une étude de signe au voisinage de $a$ montre que chaque $k_i\in 2\N$.
On en déduit que par stabilité par produit que $\prod_i (X-\alpha_i)^{k_i}\prod_j (X^2-\beta_j X+\gamma_j)^{l_j}$ est somme de deux carrés de $\R[X]$, donc de la forme $A^2+B^2$.
D'où $P=(\sqrt{a}A)^2+(\sqrt{a}B)^2$.
Sauf erreur.
T'es sûr de ça: $\beta_j^2-4\gamma_j\in\R_{+}^*$ ?
Cordialement,
Rescassol
Putnam 1999 problème A2
Cet exercice est devenu un classique en prépas et même dans les oraux de concours.
prolongement possible
On en a parlé sur ce forum. Je donnerai tantôt des références plus précises.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
Oui, je le posais en khôlle il y a au moins 30 ans.
Cordialement,
Rescassol
Je connaissais la démonstration donnée par le biais de cet exercice, mais je me demande donc quelle était l'autre démonstration connue par topopot.
Merci d'avance !
Avec la factorisation dans $\C[X]$, tu peux en déduire l'existence d'un polynôme complexe $Q$ tel que $P=Q\overline{Q}$ et conclure rapidement avec les parties réelles et imaginaires de $Q$.
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1274009,1274121#msg-1274121 22/05/2016
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1485994,1486510#msg-1486510 26/06/2017
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1485994,1486688#msg-1486688 27/07/2017