Endomorphisme de rg r, polynôme de degré r+1
Bonjour
Je suis tombé sur un exercice dans lequel il faut montrer que si l'on a un endomorphisme de rang égal à r dans un ev de dimension n alors il existe un polynôme annulateur de cet endomorphisme de degré r+1 (dans mon exo ça sous entendait plutôt r+1 ou moins)
Donc à part dans le cas où le rang est égal à la dimension de E, je ne vois pas comment je pourrais montrer un tel résultat.
J'avais tenté de partir de Jr mais j'en ai vite conclu que ça allait pas être d'une grande aide.
Je demande donc votre aide.
Je remercie à l'avance toute personne qui répondra à ce message.
Je suis tombé sur un exercice dans lequel il faut montrer que si l'on a un endomorphisme de rang égal à r dans un ev de dimension n alors il existe un polynôme annulateur de cet endomorphisme de degré r+1 (dans mon exo ça sous entendait plutôt r+1 ou moins)
Donc à part dans le cas où le rang est égal à la dimension de E, je ne vois pas comment je pourrais montrer un tel résultat.
J'avais tenté de partir de Jr mais j'en ai vite conclu que ça allait pas être d'une grande aide.
Je demande donc votre aide.
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Réponses
Ensuite j'ai dit que si l'on prend u restreint au noyau cité précédemment alors il est nilpotent, d'indice de nilpotence d<=alpha p. Et donc x^d divise x^(alpha p).
À partir de là je pourrais continuer en disant que je remplace le x^(alpha p) par x^d dans mon polynôme en disant que je me rapproche du polynôme minimal mais je comprendrais à moitié à ce moment là.
Merci beaucoup et bonne soirée.