Il faut exploiter l'invariance de la surface par $r: (x,y,z) \mapsto (y,z,x)$ qui est une rotation d'axe $(1,1,1)$. On peut par exemple montrer que l'intersection avec un plan d'équation $x+y+z=k$ est un cercle.
Bon, pour le moment, j'ai une fourchette à la place du stylo ...
Sauf erreur l'équation s'écrit $\sigma_1^3-3\sigma_1\sigma_2=1$. Si $\sigma_1$ est constant non nul, alors $\sigma_2$ aussi et donc $x^2+y^2+z^2$ aussi. (Les $\sigma_i$ sont les polynômes symétriques élémentaires.)
Je tente une rédaction de ce que vient(*) de dire Rescassol:
En notant $e_i$ les polynômes symétriques élémentaires de $x$, $y$, $z$ ($i=1,2,3$), et $p_i$ les polynômes symétriques "sommes des puissances $i$èmes", l'équation de la surface est $p_3-3e_3=1$.
Avec les relations de Newton: $p_1-e_1=0$, $p_2-e_1p_1+2e_2=0$, $p_3-e_1p_2+e_2p_1-3e_3=0$, l'équation d'origine peut aussi s'écrire $e_1p_2-e_2p_1=1$, soit $e_1(p_2-e_2)=1$. En exprimant tout de préférence en termes des $p_i$, on obtient
$$
p_1 \cdot \frac{1}{2}(3p_2-p_1^2)=1.
$$
L'intersection de la surface et du plan d'équation $x+y+z=k$ (i.e. $p_1=k$) est aussi l'intersection du plan d'équation $x+y+z=k$ et de la surface d'équation $x^2+y^2+z^2 (=:p_2)=\frac{1}{3}(k^2+\frac{2}{k})$, qui est une sphère si $k^2+\frac{2}{k}\geq 0$ (cad $k\notin]-2^{1/3},0]$), et vide sinon. Si le plan et la sphère s'intersectent, l'intersection est toujours sur un cercle dont le centre se trouve sur l'axe passant par $(0,0,0)$ et de vecteur directeur normal à tous les plans $x+y+z=k$, cad $(1,1,1)$: la surface est de révolution.
Après, l'intersection de la sphère (non vide) avec le plan est aussi non vide si la distance du plan à $(0,0,0)$ est inférieure au rayon de la sphère, soit quand $\frac{k^2}{3}\leq \frac{1}{3}(k^2+\frac{2}{k})$, cad quand $k(k+1)\geq 0$. Pour $k\notin]-2^{1/3},0]$, c'est toujours le cas. Apparemment la surface n'est ni connexe, ni compacte. Aucune idée si on puvait le deviner.
(*) Vu le temps qu'il m'a fallu pour rédiger, l'expression n'est plus correcte.
Réponses
Il faut exploiter l'invariance de la surface par $r: (x,y,z) \mapsto (y,z,x)$ qui est une rotation d'axe $(1,1,1)$. On peut par exemple montrer que l'intersection avec un plan d'équation $x+y+z=k$ est un cercle.
Bon, pour le moment, j'ai une fourchette à la place du stylo ...
Cordialement,
Rescassol
Sauf erreur l'équation s'écrit $\sigma_1^3-3\sigma_1\sigma_2=1$. Si $\sigma_1$ est constant non nul, alors $\sigma_2$ aussi et donc $x^2+y^2+z^2$ aussi. (Les $\sigma_i$ sont les polynômes symétriques élémentaires.)
En notant $e_i$ les polynômes symétriques élémentaires de $x$, $y$, $z$ ($i=1,2,3$), et $p_i$ les polynômes symétriques "sommes des puissances $i$èmes", l'équation de la surface est $p_3-3e_3=1$.
Avec les relations de Newton: $p_1-e_1=0$, $p_2-e_1p_1+2e_2=0$, $p_3-e_1p_2+e_2p_1-3e_3=0$, l'équation d'origine peut aussi s'écrire $e_1p_2-e_2p_1=1$, soit $e_1(p_2-e_2)=1$. En exprimant tout de préférence en termes des $p_i$, on obtient
$$
p_1 \cdot \frac{1}{2}(3p_2-p_1^2)=1.
$$
L'intersection de la surface et du plan d'équation $x+y+z=k$ (i.e. $p_1=k$) est aussi l'intersection du plan d'équation $x+y+z=k$ et de la surface d'équation $x^2+y^2+z^2 (=:p_2)=\frac{1}{3}(k^2+\frac{2}{k})$, qui est une sphère si $k^2+\frac{2}{k}\geq 0$ (cad $k\notin]-2^{1/3},0]$), et vide sinon. Si le plan et la sphère s'intersectent, l'intersection est toujours sur un cercle dont le centre se trouve sur l'axe passant par $(0,0,0)$ et de vecteur directeur normal à tous les plans $x+y+z=k$, cad $(1,1,1)$: la surface est de révolution.
Après, l'intersection de la sphère (non vide) avec le plan est aussi non vide si la distance du plan à $(0,0,0)$ est inférieure au rayon de la sphère, soit quand $\frac{k^2}{3}\leq \frac{1}{3}(k^2+\frac{2}{k})$, cad quand $k(k+1)\geq 0$. Pour $k\notin]-2^{1/3},0]$, c'est toujours le cas. Apparemment la surface n'est ni connexe, ni compacte. Aucune idée si on puvait le deviner.
(*) Vu le temps qu'il m'a fallu pour rédiger, l'expression n'est plus correcte.