Déterminant et trace

Énoncé : E est un espace vectoriel de dimension n ; B une base de E.
Soit u un endomorphisme de E.
f(x1, ..., xn) = somme de (k=1 à k=n) de det(x1, ..., u(xk), ..., xn) dans la base B.
Montrer que f(x1, ..., xn) = trace(u). det (x1, ..., xn) dans la base B.
Je ne comprends pas pourquoi la trace de u intervient. Si quelqu'un veut bien m'éclairer, merci d'avance.
Pour moi, la trace d'un endomorphisme (= application linéaire d'un espace vectoriel dans le même) est la trace de sa matrice carrée canoniquement associée. (somme des aii pour i allant de 1 à n)
Ou bien encore la somme de ses valeurs propres.

J'ai écrit : f(x1, ..., xn) = det (u(x1), x2, ... , xn) + det (x1, u(x2), ..., xn) + ... + det(x1, ..., u(xn))

Mais ai-je le droit d'écrire que det ( u(x1), x2, ... , xn) = k1 * det (x1, ..., xn) ? (si c'est vrai, j'aurais fait pareil avec chacun des éléments xi ).
Merci d'avance pour votre éventuelle aide.