Déterminant d'Hurwitz

OShine
OShine
dans Algèbre
Bonjour,

Je ne comprends pas l'indication qui dit d'introduire la fonction $f(x)=\det(a_{ij}+x)_{1 \leq i,j \leq n}$127548

Réponses

  • Chaurien
    Chaurien
    Il est clair que $f(x)$ est un polynôme en $x$. Cherche son degré.
    Ensuite, donne des valeurs à $x$ pour avoir un déterminant qui se calcule de façon évidente.
    Bon courage.
  • bd2017
    bd2017
    Bonjour
    Et bien f(x) est un polynôme de degré 1 dont on sait calculer facilement f(-a) et f(-b).
    Donc f(x) se calcule facilement et comme on cherche f(0). ...
     
  • bd2017
    bd2017
    grillé.
     
  • Chaurien
    Chaurien
    bd2017, ne fais pas les choses à la place du questionneur :-X !!!
    Charte :
    4.11 - ne donnez pas la solution des exercices trop vite, mettez sur la piste, suggérez des indices ;
  • Chaurien
    Chaurien
    Et on écrit « eh bien».
    https://www.projet-voltaire.fr/regles-orthographe/eh-bien-ou-et-bien/
  • bd2017
    bd2017
    Ici c'est @Oshine. Il comprend très difficilement. Lui donner 80 % de la solution ce n'est pas lui donner la solution, il lui laisse encore beaucoup de travail....
     
  • OShine
    OShine
    @bd2017
    Bien joué. La méthode de cet exercice est intéressante.

    On soustrait la première ligne à toutes les autres et il reste du $x$ que dans la première ligne puis on développe par rapport à la première ligne.

    $f(x)$ est un polynôme de degré $1$ donc il existe $(\lambda,\mu) \in \R^2 \ \ f(x)=\lambda x+ \beta$

    On évalue en $-a$ et $-b$ ce qui donne après calculs, comme $D=f(0)= \beta$ que :

    $\boxed{D=\dfrac{ b \displaystyle\prod_{i=1}^n (\lambda_i -a) - a \displaystyle\prod_{i=1}^n (\lambda_i -b)}{b-a}}$ qui est bien défini car on a supposé $a \ne b$.
  • bd2017
    bd2017
    Tu aurais pu chercher par toi même. Sans l'indication, je veux bien que l'exercice peut sembler difficile.
    Mais avec l'indication et en travaillant sur des exemples (n=2,3) je crois que la solution tombe d'elle même.
    Cela ne sert à rien d'attendre qu'on fasse le travail ) ta place.

    Je sais que cette remarque ne sert à rien puisque on te le dit tous les jours et que tu n'en tiens pas compte.
     
  • Chaurien
    Chaurien
    Alors maintenant, calcule ce déterminant si $a=b$.
  • OShine
    OShine
    Chaurien ce ne m'a pas l'air simple.

    Je vais essayer de raisonner en colonne et d'utiliser la multilinéarité du déterminant.
  • noobey
    noobey
    Et sans recalculer des déterminants tu n'as pas une idée?
  • OShine
    OShine
    La diagonalisation, une matrice symétrique réelle est diagonalisable.

    Mais je n'arrive pas à déterminer $\det(A-XI_n)$
  • OShine
    OShine
    Je n'ai pas réussi à calculer le déterminant si $a=b$.
  • noobey
    noobey
    A l'aide de D. Comment calculer le déterminant pour a=b
  • ev
    ev
    Et en posant $b= a+h$ ?

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • OShine
    OShine
    Pour $b=a+h$ avec $h$ petit on a :

    $D=\dfrac{ (a+h) \displaystyle\prod_{i=1}^n (\lambda_i -a) - a \displaystyle\prod_{i=1}^n (\lambda_i -a-h)}{h}$

    Mais après je bloque pour calculer la limite quand $h$ tend vers $0$.
  • noobey
    noobey
    Indice : On pourra utiliser un résultat du cours vu en 1ere S et ES
  • ev
    ev
    Et en posant $P(X) = \prod\limits_{i=1}^n(\lambda_i - X)$ ?

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • Chaurien
    Chaurien
    Oui OShine, bien vu : $D=\dfrac{ (a+h) \displaystyle\prod_{i=1}^n (\lambda_i -a) - a \displaystyle\prod_{i=1}^n (\lambda_i -a-h)}{h}$.
    La question est : limite quand $h \rightarrow 0$ ? Vas-y, c'est faisable.
  • OShine
    OShine
    Merci.

    Posons $P(X)=\displaystyle\prod_{i=1}^n (\lambda_i -X)$

    Ainsi $D=(-a) \dfrac{P(a+h)-P(a)}{h} + P(a)$

    Or $\lim\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{P(a+h)-P(a)}{h}= P'(a)$

    Or $P'(X)=- \displaystyle\sum_{i=1}^n \displaystyle\prod_{j \ne i} (\lambda_j -X)$

    D'où $\boxed{\lim\limits_{h \rightarrow 0} D = \displaystyle\sum_{i=1}^n \displaystyle\prod_{j \ne i \\ \ 1 \leq j \leq n} (\lambda_j -a)+\displaystyle\prod_{i=1}^n (\lambda_i -a)}$
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