Famille infinie libre
Bonsoir
Je bloque à la question $a$.
Soit $f$ une fonction continue non constante appartenant à $E$. Montrons que les $(f^k)_{0 \leq k \leq n}$ sont libres pour tout $n \in \N$.
Soient $(\lambda_1, \cdots, \lambda_n) \in \R^n$ tels que $\displaystyle\sum_{k=0}^n \lambda_k f^k =0_E$
Alors $\forall x \in \R ,\ \displaystyle\sum_{k=0}^n \lambda_k f^k (x) =0$.
Après je bloque.
Je bloque à la question $a$.
Soit $f$ une fonction continue non constante appartenant à $E$. Montrons que les $(f^k)_{0 \leq k \leq n}$ sont libres pour tout $n \in \N$.
Soient $(\lambda_1, \cdots, \lambda_n) \in \R^n$ tels que $\displaystyle\sum_{k=0}^n \lambda_k f^k =0_E$
Alors $\forall x \in \R ,\ \displaystyle\sum_{k=0}^n \lambda_k f^k (x) =0$.
Après je bloque.
Réponses
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Ce n’est pas tout à fait ça pour les exposants de $f$.
Il les faut tous distincts mais pas nécessairement une suite arithmétique de raison 1.
Suppose qu’il existe n exposants $i_k$ (ordonnés comme $k$, ça simplifie) et $n$ nombres $a_k$ tels que $\sum_{k=0}^n a_k f^{i_k}=0$. Alors…Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
Pense à Vandermonde
-
Bonsoir,
Si une fonction continue de $\R$ dans $\R$ n'est pas constante, quel est le cardinal de l'ensemble de ses valeurs ? -
Bonsoir.
Tu peux poser $t=f(x)$.
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
@Gabuzomeu. Son cardinal est infini d'après le théorème des valeurs intermédiaires.
@Nicolas je n'ai pas compris ton message.
Une famille infinie est libre si et seulement si toutes ses sous-familles finies sont libres.
Il suffit donc de démontrer que les famille $(f^k)_{0 \leq k \leq n}$ sont libres pour tout entier naturel $n$.
@Noobey. Pour Vandermonde il faudrait que je trouve des valeurs de $x$ à considérer je ne vois pas lesquelles.
@Ev. J'y réfléchis. -
Peut-être faire un lien entre les suggestions, par exemples celle de noobey et la mienne ?
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OShine a écrit:Nicolas je n'ai pas compris ton message.
1) Une famille infinie est libre si et seulement si toutes ses sous-familles finies sont libres.
2) Il suffit donc de démontrer que les famille $(f^k)_{0 \leq k \leq n}$ sont libres pour tout entier naturel $n$.
1) Oui.
2) Non.
En fait, je me suis trompé en voulant faire plus compliqué. Disons que ce n’est pas faux mais tu peux faire comme tu le veux, à condition de bien rédiger.
Dans le 2), les familles que tu exhibes ne sont pas les seules familles libres existantes.
Mais comme tu veux montrer qu’il existe une sous-famille non libre, tu peux en choisir une comme tu le propose… à condition que ça marche.
P.S. Mon pseudonyme n’a toujours pas d’arobase.Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
Nicolas Patrois je ne sais pas ce que tu racontes mais il n'y a pas d'erreur dans mon message. Je ne comprends rien à ton intervention.
Je n'ai pas réussi la question, je ne comprends pas le rapport avec Vandermonde, si à quoi ça sert de montrer que $f$ prend une infinité de valeurs. -
Soit $(a,b,c)\in \R^3$. Pour tout $x\in [1,2]$, on suppose $ae^{3x} + b e^{7x}+ce^{11x}=0$.
Sais-tu montrer que $a=b=c=0$ ? -
Je prends 3 valeurs de $x$ et je résous un système je suppose.
-
On ne peut pas simplement dire que le polynôme défini par $P(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^n \lambda_k x^k$ possède une infinité de racines donc est nul ?
En effet, $f$ prend une infinité de valeurs entre deux ordonnées $a$ et $b$, donc $\forall f(x) \in [a,b] \ \ P(f(x))=0$ donc $P=0$ et enfin $\lambda_0=\lambda_1 = \lambda_2 = \cdots = \lambda_n =0$ ? -
Mon Dieu OShine, je ne te reconnais plus....::o
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Comment ça ?
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Oshine.
Tu as oublié l'indice du $\lambda$ dans ta rédaction de l'expression polynomiale.
Merci d'avoir corrigé.
Cordialement.Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
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Tu as résolus la question a) on dirait. Tu t'es débloqué durant une fraction de seconde. Raconte-nous qu'est-ce ça t'a fait. :-D
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Bonsoir Oshine ! Peux tu screen la solution de doc soluces? Ne regarde pas la suite c'est juste pour moi je voulais savoir comment faire !
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@Gabuzomeu a quasiment donné la réponse, même si je n'ai toujours pas compris où intervient Vandermonde ici.
J'ai trouvé plusieurs erreurs dans les solutions de doc solus, comme celle-ci.
Ils donnent une solution à $x^{n-1}= \det(A)$ avec $A$ une matrice carrée d'ordre $n$ quand $n$ est impair. Il disent que $x = \pm \sqrt[n-1\,]{ \det(A)}$
Alors que si $\det(A) <0$, cette équation n'admet pas de solution. -
Bonjour, $f^n$ désigne-t-il $f\circ f\circ\dots\circ f$ ou $f\times f\times\dots\times f$?Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.Henri Poincaré
-
Bonne question l'énoncé ne précise pas. Je me suis posé la question.
-
OShine http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2314268,2314502#msg-2314502
Et la matrice de ton système sera une matrice de ... ? -
Pour $x=1$, $1,5$ puis $2$ on a :
$\begin{pmatrix}
e^3 & e^7 & e^{11}\\
e^6 & e^{14} & e^{22} \\
e^{4,5} & e^{10,5} & e^{16,5}
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
a \\
b \\
c
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}$
Il faudrait calculer le déterminant de cette matrice.
Je ne vois pas de matrice de Vandermonde -
Bonjour,
Déjà, cette égalité est fausse, une matrice ligne n'est pas égale à une matrice colonne.
Cordialement,
Rescassol -
J'ai rectifié.
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Si $f_n$ désigne $f\circ f\circ\dots\circ f$ alors $f(x)=x$ est un contre-exemple à a), sinon on choisit $2$ réels distincts $(x_1,x_2)$ distincts alors le déterminant de $\left(\begin{array}{cc}f(x_1)&f(x_1)^2\\f(x_2)&f(x_2)^2\end{array}\right)$ est nul et a deux lignes proportionnelles ce qui n'est possible que si $f(x_1)=f(x_2)$ et comme $x_1$ et $x_2$ sont arbitaires ceci prouve que $f$ est constante. On peut se passer de l'hypothèse de continuité pour a) si je ne raconte sauf erreur de ma part.Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.Henri Poincaré
-
Si $f_n$ désigne $f\circ f\circ\dots\circ f$ alors $f(x)=x$ est un contre-exemple à a), sinon on choisit $2$ réels distincts $(x_1,x_2)$ distincts alors le déterminant de $\left(\begin{array}{cc}f(x_1)&f(x_1)^2\\f(x_2)&f(x_2)^2\end{array}\right)$ est nul ce qui impose $f(x_1)=f(x_2)$ ou $f(x_1)=0$ ou $f(x_2)=0$ ceci impose que pour deux réels distincts $x_1$ et $x_2$ arbitraires l'image $f$ de l'un est nulle ou qu'ils ont même image. Si $f$ ne s'annule pas alors elle est constante. Sinon on considère l'ensemble des points où $f$ ne s'annule pas alors $f$ est constante non nulle sur cet ensemble et par continuité $f$ est constante puisqu'elle s'annule par ailleurs (en effet l'ensemble des points ou elle s'annule est fermé, son complémentaire est ouvert et on utilise le théorème de structure des ouverts de $\mathbb{R}$ comme union dénombrable d'intervalles ouverts disjoints).Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.Henri Poincaré
-
Alain Lyon ici $f^n$ signifie $f$ à la puissance $n$ à mon avis, tu pars dans des choses trop compliquées.
JLapin
J'ai recopié le cours sur les familles libres en dimension infinies.
Je ne vois pas :-S -
Je ne comprends pas ta méthode JLapin.
-
Sais-tu démontrer (et pas dire "c'est dans mon cours") que si $(x_1,\ldots,x_6)$ est une famille libre, alors $(x_2,x_3,x_5)$ est une famille libre ?
-
Si $(x_1, \cdots, x_6)$ est une famille libre alors $\forall (a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6) \in \R^6 \ \ \displaystyle\sum_{k=1}^6 a_k x_k =0 \implies \forall k \in [|1,6|] \ a_k=0$
Supposons $a_2 x_2+a_3 x_3+a_5 x_5 =0$
Alors en définissant des scalaires tels que $a_1=a_2=a_6=0$ on a bien $\displaystyle\sum_{k=1}^6 a_k x_k =0$.
Comme la famille $(x_1, \cdots, x_6)$ est une famille libre alors $ \forall k \in [|1,6|] \ a_k=0 $ et donc à fortiori $a_2=a_3=a_5=0$
Ce qui prouve que $(x_2,x_3,x_5)$ est libre.
Mais quel rapport avec mon problème de départ :-S -
Hein ?
-
Homo Topi mon message est correct.
-
Bonjour,
Non.
Cordialement,
Rescassol -
Non, il est extrêmement faux (et mal formulé).
Toi qui disais 1) que tu commençais à te débrouiller en algèbre linéaire, et 2) que tu acceptais de faire mon exo en privé (pour lequel je t'avais conseillé d'ouvrir un peu moins de fils en Algèbre...), on n'y est pas encore. -
OShine, un indice ? C'est un indice.
PS. qu'est-ce que c'est lourd... 8-) À part ça c'est effectivement mal formulé. -
J'ai rectifié mon message, j'ai écrit trop vite mais j'ai compris l'idée.
Je ne vois toujours pas où est Vandermonde :-S -
JLapin
Une famille d'éléments de $E$ est libre si et seulement si toutes ses sous-familles finies sont libres. -
Mais est-ce que tu peux le prouver ?
-
C'est donné en définition dans mon livre, je ne vais pas prouver une définition.
-
Et comment tu sais qu'une sous-famille est libre ?
Et bien quand toutes ses sous-sous familles sont libres. -
OShine écrivait:
> Une famille d'éléments de $E$ est libre si et
> seulement si toutes ses sous-familles finies sont
> libres.
Maintenant, peux-tu prouver que si $(f_0,\ldots,f_n)$ est libre pour tout $n\in\N$, alors la famille $(f_k)_{k\in\N}$ est libre ? -
Ils précisent dans le livre mais je n'ai pas vraiment compris la remarque :-(
Remarque :
D'après la proposition 4, il s'agit bien d'une généralisation de de la définition donnée pour une famille finie. Il est immédiat de vérifier que la proposition 4 se généralise aux familles quelconques.
Proposition 4 :
Toute sous-famille d'une famille libre est libre.
Toute sur-famille d'une famille liée est liée. -
Drôle de livre !! La définition classique de famille libre s'applique à des familles infinies sans modification !! mais peut-être ton bouquin donne-t-il déjà une définition mal foutue dans le cas familles finies.
-
OShine écrivait:
> Ils précisent dans le livre mais je n'ai pas
> vraiment compris la remarque :-(
On s'en fiche du bouquin maintenant.
Tu as toi-même donné une définition des familles libres : fais la vérification qui va bien. -
Je ne vois pas comment prouver que si $(f_0,\ldots,f_n)$ est libre pour tout $n\in\N$, alors la famille $(f_k)_{k\in\N}$ est libre.
Je n'ai jamais vu comment montrer qu'une famille infinie était libre mis à part en utilisant le résultat des sous-familles finies.
Je l'ai utilisé mais je ne sais pas le démontrer. -
Pose les choses.
Et pour être clair, je ne te demande pas de démontrer qu'une famille est libre ssi ses sous-familles finies sont libres. Tu peux prendre ça pour acquis. -
Je ne sais pas traduire en langage mathématique que $(f_k)_{k \in \N}$ est libre donc je ne peux pas réussir l'exercice. Le problème est que c'est une famille infinie.
Et sur le net et n'importe où on dit que pour montrer qu'une famille infinie est libre on doit montrer que toute sous-famille l'est.
C'est le serpent qui se mord la queue :-S -
Et bien prends une sous-famille finie de $(f_k)_{k\in \N}$ et montre qu'elle est libre.
-
Il n'y a rien à démontrer. C'est immédiat.
Si $(f_0, \cdots, f_n)$ est libre pour tout $n \in \N$.
On prend une sous-famille $(f_k)_{0 \leq k \leq m}$ avec $m \in \N$ de $(f_k)_{k \in \N}$. Elle est libre car $(f_0, \cdots, f_n)$ est libre pour tout $n \in \N$. -
Non, tu n'as pas pris une sous-famille finie assez quelconque...
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Bonjour!
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