Générateurs de $\frak S_n$

Badrino · October 2021

Bonjour tout le monde j'ai essayé de démontrer que les cycles $(1,2)$ et $(1,2,...,n)$ engendrent $\mathfrak S_n$, mais je ne suis pas sûr de mon raisonnement.
Merci à ceux qui auront la patience de consulter mon travail.
Ps : dans l'exercice ils ont admis que les transpositions (i, i+1) engendrent $\mathfrak S_n$ 127512

Maxtimax · October 2021

Je ne comprends pas ton calcul de $(1,...,n)^{n-i}$ : ce dernier n'envoie pas $1$ sur $i$, mais sur $n-i+1$ (pense à $n-i=1$
À ceci près, ton raisonnement n'est pas loin d'être correct. Peux-tu calculer $\sigma (1,2)\sigma^{-1}$ de manière générale, et te convaincre que tu obtiens $(i,i+1)$ avec $\sigma =$ une certaine puissance de $(1,...,n)$ ?

GaBuZoMeu · October 2021

Bonsoir,

Ce que tu as écris ne colle pas.
Un conseil : tu peux commencer par remarquer que pour toute permutation $\sigma$ de $\{1,\ldots,n\}$, on a $\sigma\, (1,2) \,\sigma^{-1}=(\sigma(1),\sigma(2))$.
Après, il est facile de trouver la bonne puissance du cycle $(1,2,\ldots,n)$ qui fera le $\sigma$ pour trouver $(i,i+1)$.