Il est un peu plus simple de considérer $u_n=\displaystyle\sum_{k\geq0}(-1)^k2^{n-2k}{n-k\choose k}$ (avec $\displaystyle{n-k\choose k}=0$ si $k>n-k$).
On calcule $u_0=1$ et $u_1=2$ puis avec la relation de Pascal : $u_n=2u_{n-1}-u_n$.
On en déduit $u_n-u_{n-1}=u_{n-1}-u_n$ d'où $u_n-u_{n-1}=u_1-u_0=1$, d'où $u_n=n+1$.
La somme demandée est donc égale à $\dfrac12u_{2n+1}=n+1$
Réponses
regarde ici
Peut-on savoir la source de ton exercice ?
On calcule $u_0=1$ et $u_1=2$ puis avec la relation de Pascal : $u_n=2u_{n-1}-u_n$.
On en déduit $u_n-u_{n-1}=u_{n-1}-u_n$ d'où $u_n-u_{n-1}=u_1-u_0=1$, d'où $u_n=n+1$.
La somme demandée est donc égale à $\dfrac12u_{2n+1}=n+1$