Matrices nilpotentes
Bonsoir,
Je bloque sur la question $b$. Pour la question $a$, c'est une question qui ressemble à un exercice que j'ai déjà fait sur les endomorphismes nilpotents.
Comme $M^{p-1} \ne 0$ alors il existe un vecteur colonne $X$ tel que $M^{p-1} X \ne 0$
Démontrons que la famille $(X,MX, \cdots, M^{p-1} X)$ est libre.
Soient $(a_0, \cdots, a_{p-1}) \in \R^p$ tels que $\displaystyle\sum_{k=0}^{p-1} a_k M^k X=0$
On multiplie à gauche par $M^{p-1}$ ce qui donne $\displaystyle\sum_{k=0}^{p-1} a_k M^{k+p-1} X=0$ ce qui fournit $a_0 M^{p-1} X=0 \implies a_0=0$
On obtient $\displaystyle\sum_{k=1}^{p-1} a_k M^k X=0$
On multiplie de nouveau par $M^{p-1}$ et on en déduit $a_1=0$
Finalement, tous les scalaires $a_i$ sont nuls et la famille $(X,MX, \cdots, M^{p-1} X)$ est libre. C'est une famille de vecteurs de $M_{n1} (\R)$ qui est de dimension $n$ donc le cardinal de cette famille est inférieur à $n$.
On a montré $\boxed{p \leq n}$
Je bloque sur la question $b$. Pour la question $a$, c'est une question qui ressemble à un exercice que j'ai déjà fait sur les endomorphismes nilpotents.
Comme $M^{p-1} \ne 0$ alors il existe un vecteur colonne $X$ tel que $M^{p-1} X \ne 0$
Démontrons que la famille $(X,MX, \cdots, M^{p-1} X)$ est libre.
Soient $(a_0, \cdots, a_{p-1}) \in \R^p$ tels que $\displaystyle\sum_{k=0}^{p-1} a_k M^k X=0$
On multiplie à gauche par $M^{p-1}$ ce qui donne $\displaystyle\sum_{k=0}^{p-1} a_k M^{k+p-1} X=0$ ce qui fournit $a_0 M^{p-1} X=0 \implies a_0=0$
On obtient $\displaystyle\sum_{k=1}^{p-1} a_k M^k X=0$
On multiplie de nouveau par $M^{p-1}$ et on en déduit $a_1=0$
Finalement, tous les scalaires $a_i$ sont nuls et la famille $(X,MX, \cdots, M^{p-1} X)$ est libre. C'est une famille de vecteurs de $M_{n1} (\R)$ qui est de dimension $n$ donc le cardinal de cette famille est inférieur à $n$.
On a montré $\boxed{p \leq n}$
Réponses
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Bonsoir,
p'têt ben que $A^{-1}BA$ est elle aussi nilpotente... -
Normalement, là, on a droit à « Non, je ne vois pas. ».
-
John_John, pour tout $k \in \N$ on a $(A^{-1} B A)^k=A^{-1} B^k A$
Notons $p$ l'indice de nilpotence de $B$, ainsi $B^p=0$
Donc $\boxed{(A^{-1} B A)^p =A^{-1} B^p A =0}$
Après je bloque.
Bisam, je ne vois pas le lien direct. -
C'est parce qu'il est déguisé, je viens de le dire... (:P)
-
Tu fais exprès à ce niveau ? Il n'y a donc jamais rien qui soit digne de figurer dans ta mémoire ? Tu n'as même pas l'envie de relire ton autre topic ?
-
C'est sidérant, et pourtant pas vraiment surprenant, que tu ne vois pas le lien avec l'autre fil. Tu ne retiens RIEN de ce que tu fais. Tu me fais penser à un Sisyphe mathématicien...
-
Ok j'ai compris le rapport finalement (tu)
Posons $N=A^{-1} B A$ alors l'inverse de $I_n +N= I_n -(-N)$ est $\boxed{ A^{-1} \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k B^k A}$
Posons $M=A B A^{-1}$ alors l'inverse de $I_n +M= I_n -(-M)$ est $\boxed{ A \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k B^k A^{-1}}$
Or $p \leq n$ donc $n-1 \geq p-1$. Mais pour $k > p-1$ on a $B^k=0$
Ainsi, on a $\boxed{(I_n+A^{-1} B A)^{-1} = A^{-1} \displaystyle\sum_{k=0}^{p-1} (-1)^k B^k A}$
Et : $\boxed{(I_n+A B A^{-1})^{-1} = A^{-1} \displaystyle\sum_{k=0}^{p-1} (-1)^k B^k A}$ -
Bonjour,
Soit $N$ une matrice nilpotente d’ordre $p\geq 1.$
La matrice $M=I-N$ est inversible :
$M(I+N+…+N^{p-1})=I-N^p=I$
avec $M^{-1}=I+N+…+N^{p-1}.$ -
En fait l'idée de l'exercice est d'utiliser la formule :
$(1+x)(1-x+x^2- \cdots + (-1)^{n-1} x^{n-1} )= (1+x) \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} (-x)^k =\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} (-x)^k + \displaystyle\sum_{k=0}^n (-x)^{k+1}=1-x^n $ -
Bonjour tout le monde...
pour la question a), je n'aurais absolument pas pensé à la preuve de OS.
Spontanément, j'ai pensé polynôme minimal...
mise en forme, en essayant d'être rigoureux...
On montre que la seule valeur propre $\lambda$ possible pour $M$ est $0$.
$MX = \lambda X$, $X \neq 0 $ donne $M^p X = \lambda ^p X$, donc $\lambda = 0$
donc le polynôme caractéristique de $M$ est $X^n$ (on est dans $M_{n} (\R)$).
Or le polynôme minimal divise le polynôme caractéristique, donc il s'écrit $X^p$ pour un certain $p \leq n$ ...
Pour le reste, pas grand chose à ajouter ! -
Oui, je lui ai raconté cette preuve dans un autre fil (un moment pénible pour ceux qui y étaient...).
Mais OShine connaît par cœur sa première preuve donc il est content chaque fois qu'il tombe sur cette question. -
Bonjour
@oshine j'ai une exercice de calcul en application de cet exercice et de celui qui a référencé.
Soit une matrice carrée de taille $n$ constituée de $-1$ sur la diagonale et la "sur-diagonale" au dessus, des zéros ailleurs. Un exemple avec $n= 5$ est donné ci-dessous.
a) Justifier que $A$ est inversible.
b) Calculer $A ^{-1}$, $\quad
A=\left(
\begin{array}{ccccc}
1 & -1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\right).
$
Même exo avec $\quad
B=\left(
\begin{array}{ccccc}
1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\right)$. -
$A$ et $B$ sont inversibles car $\det(A)=\det(B)=1$ elles sont triangulaires supérieures.
Pour l'inverse je ne vois pas. -
Calcule-les à la main en travaillant sur les lignes.Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
La question s'adressant à OS, je ne veux surtout pas me substituer à lui... mais le sens de la démarche est-elle de calculer des puissances de $A$ en observant son côté "presque" nilpotent ? $ A = ( I_n + N) $ et $ I_n$ et $N$ commutent.
En précisant un peu, bd2017 a-t-il ceci derrière la tête ?
$A^{-1} = A^{4} -5A^{3}+10A^{2}-10A+5I_5$ qu'il s'agit bien sûr de calculer, puis de généraliser ?
Ou y a-t-il plus rapide ou évident ? -
Rebonjour
matrice nilpotente
L'idée que j'ai pour cet exercice est une application de l'exercice que j'avais proposé à @Os et qu'il a fait (voir le lien ci-dessus).
Evidemment il y a plusieurs façons de calculer l'inverse mais il n'est pas réservé à @Os, tu peux très bien le faire. C'est un exercice standard... d'après moi. -
Je sais calculer l'inverse en résolvant le système $AX=Y$ mais je ne vois pas le rapport avec les matrices nilpotentes. Ma méthode est la bonne vieille méthode que j'utilisais en prépa pour inverser des matrices :
Pour la matrice $A$ :
$\begin{cases}
x_1-x_2= y_1\\
x_2-x_3=y_2\\
x_3-x_4=y_3 \\
x_4-x_5= y_4 \\
x_5 =y_5
\end{cases}$
Ce qui donne : $\begin{cases}
x_1=y_1 +y_2+y_3 +y_4+y_5\\
x_2=y_2+y_3 +y_4+y_5\\
x_3=y_3 +y_4+y_5\\
x_4= y_4 +y_5 \\
x_5 =y_5
\end{cases}$
Donc $\boxed{A^{-1}=\left( \begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)} $ -
A=(I+N) etc
-
Je n'en reviens pas qu'à chaque fois qu'on te dit "c'est une application directe du résultat que tu viens de montrer", ou encore "c'est la même idée que la preuve que tu viens de faire", tu ne réfléchisses même pas pendant dix secondes pour comprendre le lien.
Je veux dire, là on t'apprend à inverser I - N avec N nilpotente, et quelqu'un te demande d'inverser une certaine matrice, en précisant bien que c'est "en guise d'application", et...tu ne vois pas !
Encore une preuve de ton manque d'effort et de recul en général. Tu as fait des maths depuis déjà une dizaine d'années, et ça va faire deux ou trois ans que tu as repris dune façon vraiment intensive au point que même en taupe je n'ai vu personne tenir ce rythme. Alors comment tu fais pour ne savoir faire aucun lien comme ça ? Je commence à être du côté de ceux qui te conseillent de voir un neurologue. Ne pas être capable de faire des liens à ce point semble limite pathologique. -
C'est plutôt que je me perds parmi tous les exercices que j'ai fait.
-
Si tu notais quelque part les exercices que tu as déjà fait avec 2 3 indications, le lien du topic ainsi que ce quit'a posé problème ca t'eviterait de reposer 50 fois le meme exo et tu ty perdrais moins
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Bonjour!
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