Relation de commutation

Yannguyen · October 2021

Bonjour j_j,

Je découvre avec intérêt ce joli exercice, mais tu nous laisses un peu sur notre faim (et même sur notre fin). Par exemple, comment construire des exemples non triviaux ?

Je connais pourtant qui est j_j :-D

à l'ami Rescassol

Cordialement, Yann

john_john · October 2021

Bonjour, Yann,
en écrivant $BAX=\omega ABX$, lorsque $X$ est un vecteur propre de $A$, ou de $B$, on construit facilement des exemples dans lesquels $A$ et $B$ sont de format $(n,n)$ et inversibles. Il suffit que chacun des endomorphismes de $\C^n$ qu'elles définissent canoniquement permute circulairement les sevp de l'autre ; alors, par exemple, $A$ est la matrice de la permutation circulaire $e_1\mapsto e_2\mapsto e_3\mapsto\cdots\mapsto e_n\mapsto e_1$ et $B={\rm Diag}(1,\omega,\omega^2,\dots,\omega^{n-1})$.

Ensuite, si $N=kn$, on en étend la construction grâce à des matrices diagonales par blocs.

Cordialement, j__j