Endomorphismes nilpotents
Bonsoir,
Je cherche l'exercice de Bd2017.
1) Soit $N$ une matrice nilpotente de $\mathcal M_n(\R)$.
Que dire de $N^{-1}$?
2) Montrer que $M= I + N +....+N^{n-1}$ est inversible et exprimer son inverse en fonction de $N$ .
Question $1$ :
$N$ est une matrice nilpotente donc il existe $q \in \N^{*}$ tel que $N^q=0$ et $N^{q-1} \ne 0$
Si $N$ est inversible alors $N^{q-1}= N^{q} N^{-1} =0$ ce qui est absurde.
Donc $N$ n'est pas inversible.
Question $2$ :
Je n'ai pas réussi.
Je cherche l'exercice de Bd2017.
1) Soit $N$ une matrice nilpotente de $\mathcal M_n(\R)$.
Que dire de $N^{-1}$?
2) Montrer que $M= I + N +....+N^{n-1}$ est inversible et exprimer son inverse en fonction de $N$ .
Question $1$ :
$N$ est une matrice nilpotente donc il existe $q \in \N^{*}$ tel que $N^q=0$ et $N^{q-1} \ne 0$
Si $N$ est inversible alors $N^{q-1}= N^{q} N^{-1} =0$ ce qui est absurde.
Donc $N$ n'est pas inversible.
Question $2$ :
Je n'ai pas réussi.
Réponses
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L'expression $1+x+x^2+\dots +x^{n-1}$ ne te fait penser à rien ?
-
démonstration qu'on trouve au mot près sur la toile (:P)
-
Bonjour,
Si on multiplie à gauche $1+n+…+n^{q-1}$ par $n$ alors… -
zzZzz.Après je bloque.
-
$x^n=?$Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
Fais des essais pour n=2, choisis un N et M qui conviennent et réponds à la question
Puis fais de même pour n=3...
Puis montre-nous ce que tu as essayé (photo de tes feuilles)
Sinon tu ne progressera jamais... -
Ok merci j'ai réussi je crois.
On a pour tout $x \in \R$ : $(1-x) \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} x^k=\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} x^k - \displaystyle\sum_{k=2}^{n} x^{k} =1-x^n$
Donc $(I_n-N) M =I_n- N^n$
Or $N^n=0$ car l'indice de nilpotence est inférieur à la dimension de $E$.
Ainsi $(I_n-N) M = I_n$
Donc $M$ est inversible et on a $\boxed{M^{-1}= I_n -N}$ -
Petit conseil pour OShine : quand on te conseille de faire un truc, fais-le au lieu de dire à la personne qui t'a donné le conseil que tu ne vois pas l'intérêt. En général, l'intérêt devient évident quand on fait le truc en question...
-
OS
Je ne vois que la démonstration de l'inversibilité à droite ! -
Bonjour,
Il aurait pu se contenter de dire que $N$ commute avec les polynômes en $N$.
Cordialement,
Rescassol -
Même pas besoin de dire ça.
-
Si c’est inversible dans un sens, alors ça l’est dans l’autre et l’inverse est le même des deux sens.Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
Preuve : D'après Cayley-Hamilton, l'inverse d'une matrice inversible $A$ est un polynôme en $A$.
-
Il suffit de dire que $N$ et $I_n$ commutent.
-
Bonsoir Yves, mon idée primaire était de faire comme vous, mais après simplification et factorisation on obtient N^q-1(M-In) = 0 et je doute que l’on puisse conclure. M’y suis-je mal pris?
-
@ Poirot :
Je pense que OS aurait dû donner spontanément une justification (en particulier savoir que pour les matrices, inverse à gauche ou à droite suffit). Évidemment il n'a pas choisi la plus simple ! -
Tant qu'on y est on peut faire quelque chose de ressemblant utile pour la culture mathématique.
Soit $M$ une matrice quelconque. Montrer que pour $r$ assez petit, la matrice $I - rM$ est inversible.
Et en déduire au passage que l'ensemble des matrices inversibles est un ouvert.
Et si t'es sage on en déduira Cayley-Hamilton dans la bonne humeur. -
Je ne vois pas comment démontrer que $I-rM$ est inversible.
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Et si on écrit très abusivement son inverse sous la forme $\frac{1}{I-rM}$, ça ne te fait vraiment penser à rien en rapport avec ce dont on a parlé dans ce fil ?
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Poirot je n'ai pas compris.
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Bonjour,
Et $\dfrac{1}{1-x}$, tu sais faire quelque chose avec ?
Cordialement,
Rescassol -
On a $\forall x \in ]-1,1[ \ \dfrac{1}{1-x}= \displaystyle\sum_{n=0}^{+ \infty} x^n$
-
Bonjour,
Donc tu peux maintenant utiliser l'indication de Poirot.
Cordialement,
Rescassol -
Je n'ai pas compris l'indication de Poirot.
-
Normalement, passé la maternelle on sait combiner deux informations.
-
Je ne sais pas faire ici.
-
Tu n'es pas câblé pour réutiliser un raisonnement présent sur la page même où se trouve la question, avec des indices de surcroît ?
Tu te souviens des exercices que tu fais parfois ? Par accident au moins ? -
Mais enfin, tu ne peux pas être sérieux ! ::o
Si $I -rM$ est inversible, on t'a conseillé de noter son inverse $\dfrac{1}{I-rM}$ pour te faire voir le rapport avec la série géométrique. Mon premier réflexe serait de voir si je sais donner un sens à $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}(rM)^n$ (rappel : $r$ doit être "assez petit"), puisque si ce machin existe, c'est l'inverse de $I-rM$. -
Je n'ai pas encore étudié les séries de matrices, je crois que cet exercice est hors de mes connaissances.
-
Il me semblait que tu avais déjà vu les convergences de suites et séries de fonction. Tu ne connais pas la convergence normale ?
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Une série de matrices, c'est une série dans un espace vectoriel. Les séries dans un espace vectoriel normé, depuis le temps que tu bosses sur les EVN, tu devrais connaitre un minimum.
-
Non, j'ai étudié les espaces vectoriels normés sans les matrices.
Les chapitres suivants (compacité, continuité, connexité par arcs, séries vectorielles) introduisent les matrices dans les espaces vectoriels normés mais je n'ai pas encore étudié ça.
J'ai arrêté le cours pour faire quelques exercices. -
Ok, il me semblait que tu avais dit être au point sur les différents modes de convergence des suites de fonctions.
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