$p$ factorisé dans $\mathbb Z[ i]$
Bonjour, il y a un détail que je ne comprends pas dans mon cours.
Il faut montrer que si $p$ un premier se factorise dans $\mathbb Z[ i]$ alors $x^2+1$ a une solution dans $\mathbb F_p$.
Il y a le fait suivant évoqué dans mon cours : $(p$ se factorise en $\pi \bar \pi,$ où $\pi \in \mathbb Z[ i]) \iff p=a^2+b^2$ pour $a,b\in \mathbb Z$. En effet on a que $a^2+b^2=(a+ib)(a-ib)=:\pi \bar \pi$.
Maintenant, et là je ne comprends pas, d'après mon cours si $p$ se factorise dans $\mathbb Z[ i]$ alors $\exists a,b\in \mathbb F_p,\ a,b\neq 0$ tels que $a^2+b^2=0$ (dans $\mathbb F_p$).
Donc je crois que mon cours sous-entend que chaque factorisation de $p$ premier est forcément de la forme $\pi \bar \pi$ mais pourquoi ? Effectivement $p$ se factorise bien en $\pi \bar \pi$ et il y a unicité de la factorisation à l'unité près et... je ne vois pas. Merci pour votre aide.
Autre petite question. Quand on dit que $p$ se factorise dans $\mathbb Z[ i]$ cela veut dire que $p$ se décompose en produits de deux nombres premiers ?
Il faut montrer que si $p$ un premier se factorise dans $\mathbb Z[ i]$ alors $x^2+1$ a une solution dans $\mathbb F_p$.
Il y a le fait suivant évoqué dans mon cours : $(p$ se factorise en $\pi \bar \pi,$ où $\pi \in \mathbb Z[ i]) \iff p=a^2+b^2$ pour $a,b\in \mathbb Z$. En effet on a que $a^2+b^2=(a+ib)(a-ib)=:\pi \bar \pi$.
Maintenant, et là je ne comprends pas, d'après mon cours si $p$ se factorise dans $\mathbb Z[ i]$ alors $\exists a,b\in \mathbb F_p,\ a,b\neq 0$ tels que $a^2+b^2=0$ (dans $\mathbb F_p$).
Donc je crois que mon cours sous-entend que chaque factorisation de $p$ premier est forcément de la forme $\pi \bar \pi$ mais pourquoi ? Effectivement $p$ se factorise bien en $\pi \bar \pi$ et il y a unicité de la factorisation à l'unité près et... je ne vois pas. Merci pour votre aide.
Autre petite question. Quand on dit que $p$ se factorise dans $\mathbb Z[ i]$ cela veut dire que $p$ se décompose en produits de deux nombres premiers ?
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Réponses
J'ai démontré dans mon précédent message que si $p$ est un entier naturel premier qui n'est pas irréductible dans $\mathbb G$, alors il existe $z_1 \in \mathbb G$ et $z_2 \in \mathbb G$ tels que : $N(z_1)=N(z_2)=p$, d'accord ? Notons $\varpi=z_1$, alors $p=N(\varpi)=\varpi \overline{\varpi }$.
On voit sans mal que $\varpi$ est irréductible car (rebelote) si $\varpi=uv$, $u \in \mathbb G$, $v \in \mathbb G$, alors $p=N(\varpi)=N(u)N(v)$, et donc $N(u)=1$ ou $N(v)=1$. Ça répond ?
Bon courage.
Fr. Ch.
Soit $ p$ un nombre entier naturel premier qui n'est pas irréductible dans $ \mathbb G= \mathbb Z [ i]$. On a vu qu'il existe $\varpi \in \mathbb G$ tel que $p=N( \varpi)$. Soit $\varpi=a+bi$, $a \in \mathbb Z$, $b \in \mathbb Z$, alors $p=a^2+b^2$. Les entiers relatifs $a$ et $b$ sont premiers avec $p$. Il existe donc $b'$ inverse de $b$ mod. $p$, et $p$ divise $(ab')^2+1$.
Autre chose ?
$$\Z[ i]/(p) \simeq (\Z[X]/(X^2+1))/(p) \simeq \Z[X]/(X^2+1, p)\simeq (\Z[X]/(p))/(X^2+1)\simeq (\Z/(p))[X]/(X^2+1)\;.$$
Intègre à un bout si et seulement si intègre à l'autre bout.
En conséquence, $p$ divise $(x+i)(x-i)$ dans $\mathbb G$. Si $p$ était irréductible dans $\mathbb G$, alors $p$ diviserait $x+i$ ou $x-i$ (lemme d'Euclide dans l'anneau factoriel $\mathbb G$). Et donc $p$ diviserait dans $\mathbb Z$ la partie imaginaire de ces nombres, soit $\pm 1$, ce qui n'est pas. Ceci prouve que $p$ n'est pas irréductible dans $\mathbb G$. D'après ce que j'ai dit plus haut, il existe donc $\varpi \in \mathbb G$ tel que $p=N(\varpi)=\varpi \overline{\varpi }$. Si $\varpi =a+bi$, $a \in \mathbb Z$, $b \in \mathbb Z$, alors $p=a^2+b^2$. On a ainsi prouvé le théorème de Fermat de Noël 1640 : un nombre premier $p$ de la forme $4q+1$ est somme de deux carrés d'entiers.
De plus, on a vu que $\varpi$ est irréductible dans $\mathbb G$, et l'égalité $p=\varpi \overline{\varpi }$ est donc la décomposition de $p$ en produit de facteurs irréductibles dans $\mathbb G$. Cette décomposition est unique (en un certain sens) parce que l'anneau $\mathbb G$ est factoriel, et il en résulte que la décomposition de $p$ en somme de deux carrés dans $\mathbb N$ est unique aussi.
Bon dimanche.
Fr. Ch.
03/10/2021