$p$ factorisé dans $\mathbb Z[ i]$

Soit $p$ un entier naturel premier. Si $p$ n'est pas irréductible dans $\mathbb G= \mathbb Z [ i]$, alors $p=z_1z_2$, où $z_1$ et $z_2$ sont des éléments de $\mathbb G$ qui ne sont pas des unités de $\mathbb G$. Alors : $p^2=N(p)=N(z_1)N(z_2)$, d'où $N(z_1)=N(z_2)=p$, etc.

Ne pas oublier que si $z \in \mathbb G= \mathbb Z [ i]$, alors $N(z)=z \overline{z} \in \mathbb N$.
J'ai démontré dans mon précédent message que si $p$ est un entier naturel premier qui n'est pas irréductible dans $\mathbb G$, alors il existe $z_1 \in \mathbb G$ et $z_2 \in \mathbb G$ tels que : $N(z_1)=N(z_2)=p$, d'accord ? Notons $\varpi=z_1$, alors $p=N(\varpi)=\varpi \overline{\varpi }$.
On voit sans mal que $\varpi$ est irréductible car (rebelote) si $\varpi=uv$, $u \in \mathbb G$, $v \in \mathbb G$, alors $p=N(\varpi)=N(u)N(v)$, et donc $N(u)=1$ ou $N(v)=1$. Ça répond ?
Bon courage.
Fr. Ch.

En fait, tout est dit, il faut réfléchir un peu .
Soit $ p$ un nombre entier naturel premier qui n'est pas irréductible dans $ \mathbb G= \mathbb Z [ i]$. On a vu qu'il existe $\varpi \in \mathbb G$ tel que $p=N( \varpi)$. Soit $\varpi=a+bi$, $a \in \mathbb Z$, $b \in \mathbb Z$, alors $p=a^2+b^2$. Les entiers relatifs $a$ et $b$ sont premiers avec $p$. Il existe donc $b'$ inverse de $b$ mod. $p$, et $p$ divise $(ab')^2+1$.
Autre chose ?

Continuons. Soit un entier naturel premier $p=4q+1$, $q \in \mathbb N^*$. Alors $-1$ est résidu quadratique mod. $p$, ce qui signifie qu'il existe $x \in \mathbb Z$ tel que $x^{2}\equiv -1 \pmod p$. Ceci se démontre de deux façons (au moins) : comme corollaire du petit théorème de Fermat, ou bien du théorème de Wilson. On pourra y revenir si besoin est.

En conséquence, $p$ divise $(x+i)(x-i)$ dans $\mathbb G$. Si $p$ était irréductible dans $\mathbb G$, alors $p$ diviserait $x+i$ ou $x-i$ (lemme d'Euclide dans l'anneau factoriel $\mathbb G$). Et donc $p$ diviserait dans $\mathbb Z$ la partie imaginaire de ces nombres, soit $\pm 1$, ce qui n'est pas. Ceci prouve que $p$ n'est pas irréductible dans $\mathbb G$. D'après ce que j'ai dit plus haut, il existe donc $\varpi \in \mathbb G$ tel que $p=N(\varpi)=\varpi \overline{\varpi }$. Si $\varpi =a+bi$, $a \in \mathbb Z$, $b \in \mathbb Z$, alors $p=a^2+b^2$. On a ainsi prouvé le théorème de Fermat de Noël 1640 : un nombre premier $p$ de la forme $4q+1$ est somme de deux carrés d'entiers.

De plus, on a vu que $\varpi$ est irréductible dans $\mathbb G$, et l'égalité $p=\varpi \overline{\varpi }$ est donc la décomposition de $p$ en produit de facteurs irréductibles dans $\mathbb G$. Cette décomposition est unique (en un certain sens) parce que l'anneau $\mathbb G$ est factoriel, et il en résulte que la décomposition de $p$ en somme de deux carrés dans $\mathbb N$ est unique aussi.

Bon dimanche.
Fr. Ch.
03/10/2021