Fonction polynomiale

topopot
topopot
dans Algèbre
J'ai deux questions sur les fonctions polynomiales, le cadre étant $A$ un anneau commutatif.

1) Dans un exercice demandant un exemple où la $A$-algèbre $P\in A[X]\mapsto \widetilde{P}\in A^A$ n'est pas injective, puis un autre où elle n'est pas surjective. J'ai trouvé pour le cas non injectif mais pas pour le cas non surjectif.

2) Auriez-vous une manière élégante de montrer $\widetilde{P\circ Q}=\widetilde{P}\circ\widetilde{Q}$ ? J'arrive à montrer facilement que $P\mapsto\widetilde{P}$ est un morphisme d'anneaux et est $A$-linéaire mais je galère pour cette égalité.

Réponses

  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    Que penses tu de l'application de $\mathbb{Z}$ dans $\mathbb{Z}$ suivante: $f=1_P$ où $P$ est l'ensemble des nombres premiers ?

    Cordialement,

    Rescassol
  • topopot
    topopot
    En effet, ça marche pour 1), merci !
  • bisam
    bisam
    Pour le 2), tu montres le résultat par récurrence pour les monômes $P=X^k$, puis tu utilises la linéarité.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Pour 2), pour une solution élégante, il faut se ramener à la définition de $P\circ Q$, et à ce qui caractérise l'algèbre des polynômes.

    Pour un polynôme $Q$ fixé, $P\mapsto P\circ Q$ est l'unique morphisme de $A$-algèbres $A[X]\to A[X]$ qui envoie $X$ sur $Q$.
    En particulier, $P\mapsto \widetilde{P\circ Q}$ est l'unique morphisme de $A$-algèbres $A[X]\to A^A$ qui envoie $X$ sur $\widetilde Q$.

    Mais $P\mapsto \widetilde P\circ \widetilde Q$ est aussi un morphisme de $A$-algèbres, et il envoie $X$ sur $\widetilde Q$. Ils sont donc égaux.
  • i.zitoussi
    i.zitoussi
    Pour 1), je pense qu'il faudrait préciser que $P\mapsto \tilde{P}$ peut être surjective dans certains cas, par exemple quand $A$ est un corps fini. (Les fonctions indicatrices des singletons peuvent s'exprimer à l'aide de polynômes -interpolation de Lagrange- et de là toute fonction de $A$ dans $A$ peut aussi s'exprimer par un polynôme).
    Pour $A=\mathbf Z/N\mathbf Z$, $N$ non premier, il existe des fonctions de $A$ dans $A$ qui ne sont pas polynomiales. Pas de référence, désolé, mais un exemple: dans $\mathbf Z/4\mathbf Z$, la fonction indicatrice de $\{0\}$ n'est pas polynomiale.
    Après je bloque.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    i.zitoussi : tu dis "par exemple", mais je crois que c'est un "si et seulement si" (à part l'anneau nul évidemment)
    (Pour des raisons de cardinalité, $A$ doit être fini. À partir de là, si $x$ est non nul et si sa fonction indicatrice est polynomiale, alors puisqu'elle s'annule en $0$, le fait qu'elle vaille $1$ en $x$ et soit polynomiale fournit facilement un inverse à $x$)
  • i.zitoussi
    i.zitoussi
    Oui, tu as raison. J'ai préféré m'en tenir à ce que je savais plutôt que de prendre le risque de dire une nouvelle bêtise, et je ne voyais pas l'argument (qui est nettement plus court que ce que je pensais).
    Après je bloque.
  • i.zitoussi
    i.zitoussi
    $A$ étant commutatif, fini, tu as montré "Si $a\in A\setminus\{0\}$ et si la fonction indicatrice de $\{a\}$ est polynomiale, alors $a$ est inversible".

    Est-ce que la réciproque est vraie? J'ai plus essayé de construire un contre-exemple que de prouver l'assertion directe, sans succès.
    Après je bloque.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    L'hypothèse de finitude ici n'est pas nécessaire (c'était juste pour passer de corps à corps fini :-D )

    Mais la réciproque est "évidemment" fausse sans hypothèse de finitude, donc regardons avec. En fait il suffit de regarder pour $1$ ( car $\chi_a = \chi_1(a^{-1}-)$). Donc tu demandes : est-ce que pour tout anneau fini, la fonction caractéristique de $1$ est polynomiale ?

    La réponse est non : soit $P$ un tel polynôme pour $\mathbb Z/p^2$. Alors la projection de $P$ convient pour $\mathbb Z/p$. Mais $P(1+p) $ est congru à $P(1)$ modulo $p$, et ne peut donc être nul.
    Plus généralement, on voit que ça se passe mal au niveau des morphismes surjectifs : si $A\to B$ est surjectif, $B$ est non nul, alors $P(1)$ est congru (modulo le noyau) à $P(1+x)$ pour tout $x$ dans le noyau, et donc ce dernier ne peut pas être nul puisqu'il n'est pas nul dans $B$.

    Donc en fait la réponse est oui si et seulement si tu es un corps fini, i.e. si et seulement si tu n'as de morphisme surjectif vers personne.
  • topopot
    topopot
    Merci Maxtimax pour 2) !
  • i.zitoussi
    i.zitoussi
    Bien vu. Il m'a fallu un certain temps pour comprendre le (contre-)exemple, question de formulation, mais finalement c'est clair. Je résume:

    Soit $A$ un anneau commutatif.
    $A$ est un corps fini $\Leftrightarrow$ Toute fonction $A\to A$ est polynomiale $\Leftrightarrow$ $\chi_1$ est polynomiale.

    Je trouve ça pas mal.
    Après je bloque.
  • i.zitoussi
    i.zitoussi
    Je résume aussi la preuve, vu qu'il y a pas mal de messages:
    (1) $\Rightarrow$ (2) : interpolation de Lagrange.
    (2) $\Rightarrow$ (3) : évident.
    (3) $\Rightarrow$ (1) : Argument de Maxtimax juste au-dessus.
    "Si $A$ n'est pas un corps, $\chi_1$ n'est pas polynomiale". En effet, soit $I$ un idéal propre de $A$, et $f$ une fonction polynomiale telle que $f(1)=1$; alors pour tout $x\in I$, $f(1+x)-1\in I$, et donc $f(1+x)\neq 0$. Par conséquent, $\chi_1$ ne peut s'exprimer à l'aide d'un polynôme.
    "Si $A$ est un corps, mais infini, $\chi_1$ n'est pas polynomiale": un polynôme sur un corps a un nombre fini de racines.
    Après je bloque.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    i.zitoussi : oui, la formulation n'est pas idéale, vu que j'écrivais la preuve en la trouvant :-D

    Mais tu résumes bien la situation (tu)
  • i.zitoussi
    i.zitoussi
    Je me suis demandé ce qui se passe si on enlève l'hypothèse de commutativité de $A$, et elle n'a pas l'air nécessaire.
    J'ai l'impression qu'on a :

    Soit $A$ un anneau.
    $A$ est "à division" et fini $\Leftrightarrow$ Toute fonction $A\to A$ est polynomiale $\Leftrightarrow$ $\chi_1$ est polynomiale.

    Après il y a le petit théorème de Wedderburn qui permet de conclure que $A$ est commutatif.

    La preuve du cas commutatif semble se transposer sans problème, à un détail près:
    (1) $\Rightarrow$ (2) : Pareil. L'interpolation de Lagrange fonctionne, l'ordre des facteurs compte cependant.
    (2) $\Rightarrow$ (3) : Pareil.
    (3) $\Rightarrow$ (1) : Presque pareil. $A$ ne doit pas avoir d'idéal propre (même preuve), c'est donc un anneau à division (corps gauche). Ensuite, comment montrer que $A$ doit être fini ? J'ai l'impression que la preuve classique qu'un polynôme sur un corps a un nombre fini de racines s'étend mutatis mutandis aux polynômes sur un corps gauche.
    Après je bloque.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    i.zitoussi : pour (3) => (1), j'ai l'impression qu'il te faut des idéaux bilatères - en particulier tu peux (a priori) seulement conclure que $A$ est simple. Il faut aussi s'entendre sur ce que "fonction polynomiale" veut dire (est-ce que $x\mapsto axb$ est autorisée ?)
  • i.zitoussi
    i.zitoussi
    Si j'avais commencé par clairement définir ce que l'appelais polynôme dans le cas non commutatif, je n'en serais pas arrivé là... (Je me suis laissé abuser par le fait que l'expression $\prod_{b\neq a}(X-b)(a-b)^{-1}$ s'évalue comme on le souhaiterait, $1$ en $a$ et $0$ partout ailleurs). Ta première remarque est aussi juste. A oublier, donc.
    Après je bloque.
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