Composition et degré
On sait que si $A$ est un anneau intègre (*), $P\in A[X]$, et $Q\in A[X]$ non constant, alors $\mathrm{deg}(P\circ Q)=\deg(P)\deg(Q)$.
Pouvez-vous me confirmer que plus généralement dans tout anneau commutatif $A$ et pour tout $(P,Q)\in A[X]^2$, on a $\deg(P\circ Q)\leqslant\deg(P)\deg(Q)$ ? Selon moi oui mais j'aimerais une confirmation. Je sais en particulier que l'inégalité peut être stricte.
(*) commutatif et tel que tout produit fini d'éléments non nuls est non nul.
Pouvez-vous me confirmer que plus généralement dans tout anneau commutatif $A$ et pour tout $(P,Q)\in A[X]^2$, on a $\deg(P\circ Q)\leqslant\deg(P)\deg(Q)$ ? Selon moi oui mais j'aimerais une confirmation. Je sais en particulier que l'inégalité peut être stricte.
(*) commutatif et tel que tout produit fini d'éléments non nuls est non nul.
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Réponses
Exemple:
$P(x)=x^2$ et $Q(x)=3x$ dans l'anneau de congruence $\left(\mathbb{Z}/9\mathbb{Z},+,\times\right)$
$P\circ Q$ est le polynôme nul.
Mais si on considère que le polynôme nul a le degré $-\infty$ on a encore l'inégalité large sur les degrés.
Edit : merci Fin de partie.