Sous-espaces stables
Bonsoir
J'ai des difficultés concernant cet exercice.
Déterminer les sous-espaces de $\R^n$ stables par les endomorphismes :
$u_{\sigma} : (x_1, \cdots, x_n) \mapsto (x_{\sigma_1}, \cdots, x_{\sigma_n}),$ avec $\sigma \in \mathfrak S_n$.
La droite vectorielle $D=Vect(1, \cdots, 1)$ est stable par $u_{\sigma}$, $0_{\R^n}$ et l'hyperplan d'équation $x_1+x_2+ \cdots +x_n=0$ sont stables par $u_{\sigma}$.
Réciproquement, soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ stable par $u_{\sigma}$. C'est là que je bloque dans le raisonnement.
J'ai des difficultés concernant cet exercice.
Déterminer les sous-espaces de $\R^n$ stables par les endomorphismes :
$u_{\sigma} : (x_1, \cdots, x_n) \mapsto (x_{\sigma_1}, \cdots, x_{\sigma_n}),$ avec $\sigma \in \mathfrak S_n$.
La droite vectorielle $D=Vect(1, \cdots, 1)$ est stable par $u_{\sigma}$, $0_{\R^n}$ et l'hyperplan d'équation $x_1+x_2+ \cdots +x_n=0$ sont stables par $u_{\sigma}$.
Réciproquement, soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ stable par $u_{\sigma}$. C'est là que je bloque dans le raisonnement.
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Réponses
Attention, ils doivent être stables avec toutes les permutations.
-- Schnoebelen, Philippe
Je voulais savoir comment les personnes du forum s'y prendraient pour le résoudre sans voir la correction.
Je le trouve dur.
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,2186808,2186950
Ça ne me paraît pas tombé du ciel de voir ce qu'il se passe lorsqu'un vecteur a deux composantes distinctes. Ça ne me paraît pas fantaisiste d'échanger les deux coordonnées. Ça ne me paraît pas fantaisiste de soustraire ces deux vecteurs puisqu'en les imaginant mentalement c'est le première chose qu'on a envie de faire. Une fois fait on voit qu'ils n'ont que deux coordonnées non nulles, et opposées, donc on a les fameux $e_{i}-e_{j}$. Remarquer enfin qu'on a le droit de ranger ces deux coordonnées dans le vecteur absolument où on veut ne me paraît pas surnaturel, et obtenir que tous les $e_{i} - e_{i+1}$ sont dans l'espace non plus. Enfin, on voit directement que ces vecteurs engendrent l'hyperplan, ou on ne passe même pas E3A.
Ex dans R3:
permutation 1->2, 2->1 : quels sont quelques uns des sous-espaces invariants ?
permutation 1->2, 2->3, 3->1 : idem que ci-dessus ?
Une stratégie pourrait être d'étudier les permutations avec 1 point fixe, 2 points fixes, 3 points fixes (parceque dans R3). Ensuite essaye de généraliser à Rn. Mais si tu commences pas par des exemples terre-à-terre c'est difficile de voir directement une preuve pour le cas général à moins d'être Gauss (:P).
Et cela clôt l'exercice d'OS en quelques lignes :-D
$\displaystyle \frac{1}{n!} \sum_{\mathfrak S_n} (\text{nombre points fixes}(\sigma) -1)^2$
C'est égal à
$Var(X)$ où $X$ est le nombre de points fixes d'une permutation tirée aléatoirement.
En effet :
$X = X_1 + \cdots + X_n,$ où $X_i = 1$ si $\sigma(i)=i$
Du coup $E[X_i]=1/n$ et $E[X]=1$
Ensuite $E[X^2] = nE[X_1^2] +n(n-1)E[X_1X_2]$
$X_1X_2 = 1$ avec probabilité $(n-2)!/n!$
Par conséquent $E[X^2] = 2$
Et $Var(X) = 1,$ d'où la sous-représentation sur $F$ est irréductible.
Prenons $E=\R^3$.
On considère la permutation $\tau =(1 \ 2)$ qui est une transposition et $\sigma =(1 \ 2 \ 3)$.
On a $u_{\tau} (x_1,x_2,x_3 ) =(x_2,x_1,x_3)$ et $u_{\sigma} (x_1,x_2,x_3)=(x_2,x_3,x_1)$
Les sous-espaces stables sont $Vec(1,1,1)$, $\{ (0,0,0) \}$ et $H= \{ (x,y,z) \in \R^3 \ | \ x+y+z=0 \}$
Je ne comprends pas trop ce que ça apport de se ramener au cas $n=3$ :-S
Je pense que c'est une demande très utopique en fait.
Alors on a $u_{\tau} (F) \subset F$. Si $F \subset Vect(1,1,1)$ alors $F= \{ 0 \}$ ou $F=Vect(1,1,1)$.
Sinon, il existe $(i,j) \in [|1,3|]^2$ tels que $i \ne j$ et $x_i \ne x_j$.
Je bloque ici. Je ne vois pas l'idée.
Ainsi, $x= x_1 e_1 + x_2 e_2 +x_3 e_3$ où $(e_1,e_2,e_3)$ est la base canonique de $\R^n$.
Je ne vois pas comment trouver $x_3$, je ne sais pas qui est $F$, je sais juste que $u_{\tau} (F) \subset F$.
Soit $x=(x_1,x_2,x_3)=x_1 e_1 +x_2 e_2 +x_3 e_3 \in F$ avec $x_1 \ne x_2$.
On a $u_{\tau} (x)=(x_2,x_1,x_3)= x_2 e_1 + x_1 e_2 + x_3 e_3 \in F$
Comme $F$ est un sous-espace vectoriel, il est stable par combinaisons linéaires d'éléments de $F$ ainsi on a $u_{\tau} (x)-x = (x_2-x_1) (e_1-e_2) \in F$
Mais comme $x_2-x_1 \ne 0$ on peut diviser par cette quantité ce qui donne $\boxed{e_1-e_2 \in F}$
De plus, $e_1-e_3= u_{\gamma}(e_1) -u_{\gamma} (e_2)=u_{\gamma} (e_1-e_2)$ où $\gamma=(3 \ 2)$
De même on montre que $\boxed{e_2- e_3 \in F}$
Les vecteurs $u=e_1-e_2 = (1,-1,0)$ , $v=e_2-e_3 =(0,1,-1)$ sont indépendants. En effet, ils ne sont pas colinéaires.
Les vecteurs $u$ et $v$ appartiennent à l'hyperplan $H$ d'équation $x_1+x_2+x_3=0$. Or $Vect(u,v) \subset H$. Pour des raisons de dimension, on a $\boxed{H=Vect(u,v)}$
Mais $Vect(u,v) \in F$ par stabilité de $F$ donc $H \subset F$. Ainsi, $F=H$ ou $F=\R^3$ car $H$ est un hyperplan.
Les sous-espaces stables par $u_{\tau}$ sont $\{0 \}$, $\R^3$, $Vect(1,1,1)$ et $H$.