Suite et intégrale

Remote1
Remote1
dans Algèbre
Bonjour
J'ai besoin de votre aide aide pour un exercice.
Merci d'avance.

Soit $\ \displaystyle I_{n}=\int^{(n+1)*\pi}_{n\pi}e^{-x}\sin x dx$
1. Trouver une relation de récurrence entre $I_{n+1}$ et $I_n$.

Je ne sais aboutir à un résultat précis ... Bien que j'ai essayé de remplacer $n$ par $n+1$ pour avoir une expression de $I_{n+1}$ et j'ai essayé d'appliquer la propriété de Chasles mais en vain...

Réponses

  • Fin de partie
    Fin de partie
    Ce type d'intégrales se calculent par deux intégrations par parties.
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Changement de variables $x \leadsto t$ avec $t = x- n \pi.$
  • P.
    P.
    Une primitive de $ x\mapsto e^{wx}$ est $\frac{1}{w}e^{wx}$, a appliquer a $w=-1+i$: tu utilises enfin $\Im e^{(-1+i)x}=e^{-x}\sin x.$ Cela te donne explicitement $I_n$ qu'on ne demande pas. Mais enfin, c'est bon a savoir si tu veux devenir maitre de ton art.


    Pour la recurrence, tu fais dans $I_n$ le changement de variable $y=x+\pi$ qui te donne un truc en $I_{n+1}.$
  • Fin de partie
    Fin de partie
    J'imagine qu'on peut aussi calculer $I_n+I_{n+1}$ par la méthode que j'ai indiquée plus haut (on applique préalablement la formule de Chasles sur les intégrales)
  • Remote1
    Remote1
    En intégrant deux fois par parties comme indiqué ci-haut, je trouve la relation $2I_{n+1}=-[e^{-x}(\cos x+\sin x)]^{\pi(n+2)}_{\pi(n+1)}=(1+e^{-1})(-\cos(n\pi)e^{-(n\pi+\pi})$ ...
    Je n'arrive pas identifier $I_n$.
  • gerard0
    gerard0
    En fait (si ton calcul est exact) tu as calculé $I_{n+1}$. FdP ne parlait pas de lien entre intégrales, mais de calcul direct de l'intégrale.

    Cordialement.
  • Remote1
    Remote1
    Okay je vois...
    Donc je dois aussi calculer $I_n$ à part pour effectuer peut-être un rapport entre entre elle et $I_{n+1}$ ? ...
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    @Remote1 :
    Non, tu ne dois pas calculer $I_n.$

    Essaie le changement de variables $x \leadsto t$ avec $t = x+\pi$ dans $I_n.$ Puis regarde le résultat. Puis compare à $I_{n+1}.$
  • Remote1
    Remote1
    J'arrive donc à
    $I_{n+1}=-\frac{1}{e^\pi}I_n$

    Merci beaucoup à vous messieurs!
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