Projecteurs associés à une décomposition
Bonjour,
Un exercice dans la partie cours de mon livre, j'avais il y a 3-4 mois lu la correction (théorique et compliquée) sans vraiment comprendre. Je retente l'exercice à nouveau sans regarder le corrigé et essayant de faire par moi-même.
Soit $E$ un $\K$ espace vectoriel et $u \in L(E)$.
Soit $(P_1, \cdots, P_r) \in \K[X]^r$ une famille de polynômes deux à deux premiers entre eux et $P$ leur produit. On suppose que $P(u)=0$.
Montrer que les projecteurs associés à la décomposition $E=\displaystyle\bigoplus_{k=1}^r \ker P_k(u)$ sont des polynômes en $u$.
Traitons le cas $k=2$. On a la décomposition $E=\ker P_1(u) \oplus \ker P_2(u)$
Comme $P_1$ et $P_2$ sont premiers entre eux, il existe $(Q_1,Q_2) \in \K[X]^2$ tels que $P_1 Q_1 + P_2 Q_2= 1$
Ainsi, $P_1 (u) \circ Q_1(u) + P_2(u) \circ Q_2(u)= id_E$
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Un exercice dans la partie cours de mon livre, j'avais il y a 3-4 mois lu la correction (théorique et compliquée) sans vraiment comprendre. Je retente l'exercice à nouveau sans regarder le corrigé et essayant de faire par moi-même.
Soit $E$ un $\K$ espace vectoriel et $u \in L(E)$.
Soit $(P_1, \cdots, P_r) \in \K[X]^r$ une famille de polynômes deux à deux premiers entre eux et $P$ leur produit. On suppose que $P(u)=0$.
Montrer que les projecteurs associés à la décomposition $E=\displaystyle\bigoplus_{k=1}^r \ker P_k(u)$ sont des polynômes en $u$.
Traitons le cas $k=2$. On a la décomposition $E=\ker P_1(u) \oplus \ker P_2(u)$
Comme $P_1$ et $P_2$ sont premiers entre eux, il existe $(Q_1,Q_2) \in \K[X]^2$ tels que $P_1 Q_1 + P_2 Q_2= 1$
Ainsi, $P_1 (u) \circ Q_1(u) + P_2(u) \circ Q_2(u)= id_E$
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Réponses
Tu bloques, c'est normal tu n'as encore rien fait.
Commence par définir ce qu'est un projecteur associé à cette décomposition.
Tu as tellement passé de temps sur ce forum que le faire par toi même maintenant c'est le faire corriger sur ce forum...
Si on a la décomposition $E=\bigoplus\displaystyle_{i \in I} E_i$ et $F_i=\bigoplus\displaystyle_{j \ne i} E_j$, on note $p_i$ la projection sur $E_i$ parallèlement à $F_i$. Alors :
Mais je n'ai pas compris l'énoncé, les projecteurs c'est les $P_k$ ou les $\ker(P_k)$ ?
@Frédéric Bosio
Merci mais pour l'instant je n'ai pas compris l'énoncé.
Ni l'un ni l'autre. Un projecteur est un endomorphisme qui... projette. Donc ça ne peut pas être les $P_k$ car ce sont des polynômes, et ça ne peut pas être les $\ker(P_k)$ car ce sont des sous-ev.
Exo intermédiaire : on se place dans $\R^3$ avec la base canonique $(e_1,e_2,e_2)$. On considère les sous-espaces vectoriels $U:=Vect(e_1,e_2)$ et $V:=Vect(e_3)$.
$U$ et $V$ sont en somme directe, c'est-à-dire que l'on a $\R^3=U\oplus V$ (si ce n'est pas évident pour toi démontre-le).
Notons $p_U$ le projecteur sur $U$ parallèlement à $V$. Soit $\lambda_1,...,\lambda_3\in \R$, que vaut $p_U(\lambda_1e_1+\lambda_2e_2+\lambda_3e_3)$ ?
Idem avec le projecteur sur $V$, que vaut $p_V(\lambda_1e_1+\lambda_2e_2+\lambda_3e_3)$ ?
Un projecteur est une application linéaire !!!
Cordialement,
Rescassol
@Raoul.S
$p_U(\lambda_1 e_1 +\lambda_2 e_2+\lambda_3 e_3)=\lambda_1 e_1 +\lambda_2 e_2$
$p_V(\lambda_1 e_1 +\lambda_2 e_2+\lambda_3 e_3)=\lambda_3 e_3$
Les projecteurs sont les $\ker (P_k (u))$ ?
OShine ne comprend pas. C'était prévisible. Il ne comprendra pas plus après avoir lu les "explications" ci-dessus. C'est encore plus prévisible. Essayons autre chose. On se donne le polynôme $$ P(X)=\left( X-1 \right) ^{3} \left( X-3 \right) \left( X-4 \right) \left( X-6 \right).$$ Et on voudrait expliciter un ou plusieurs $u$ tels que $P(u)=0$. Comment faire ?
Cordialement, Pierre.
@Homo Topi
J'ai compris qu'un polynôme n'est pas un endomorphisme.
Mais je ne crois pas avoir compris ce que signifie les projecteurs associés à la décomposition $E=\ker P_1(u) \oplus \ker P_2(u)$. Qui sont ces projecteurs ?
PS : je ne suis pas habitué à manipuler ces notions.
Si un as un espace vectoriel $E$, décomposé en somme directe : $E = \displaystyle \bigoplus_{j \in J} E_j$, la projection sur $E_i$ est l'application $p_i : E \longrightarrow E_i$, $\displaystyle \sum_j x_j \longmapsto x_i$, qui à $x$ associe sa composante dans $E_i$.
Le noyau de $p_i$, c'est qui alors ?
Après les exos le cours... B-)- : pour tout $x\in E$ il existe un unique couple $(x_1,x_2)\in \ker {P_1(u)}\times \ker{P_2(u)}$ tel que $x=x_1+x_2$ (ceci découle de la définition d'une somme directe).
Tu as deux projecteurs associés à cette décomposition. Le premier est le projecteur sur $\ker{P_1(u)}$ et parallèle à $ \ker P_2(u)$ il est défini par $\forall x\in E,p_1(x):=x_1$. Le deuxième est évidemment définit par $p_2(x):=x_2$.
Dans ton exo au lieu d'en avoir deux tu en as $r$.
poli ne me dis pas que tu crois vraiment que c'est à cause de Homo Topi que OShine revient...
poli : je ne suis ni le seul à faire ça, ni celui qui le fait le plus. On parle de quelqu'un qui veut avoir l'agreg, qui est déjà prof, et qui ne sait pas travailler. Si tu penses que le forum ferait mieux de laisser tomber OShine, ce n'est pas à un membre isolé que tu devrais t'adresser. Tu n'es pas un modérateur du forum non plus, alors tes commentaires, soit tu les adresses à tout le monde, soit tu peux te les garder, mais tu n'as juste pas à me viser comme ça. J'espère avoir été clair.
Quant à une décision collective du forum sur le cas OShine, je ne sais pas si on y sera bientôt.
Il ne faut pas espérer qu'il change, il attend toujours des corrigés faits par les autres, il il y a toujours un "nouveau" ou un ancien au cuir sensible pour donner des réponses.
Voilà pourquoi, depuis plus d'un an, je me contente de "le gronder" comme tu dis. Tu n'as pas besoin de le défendre, Poli, ça glisse sur lui "comme un pet sur une toile cirée". Laisse ceux que ça amuse lui donner des indications qu'il ne comprend pas ou qu'il oublie au bout de 15 jours, puis le gronder parce qu'il est vraiment trop ...
Cordialement.
Ok merci, j'ai compris. Par contre, pour montrer que les projecteurs associés à la décomposition $E= \ker P_1(u) \oplus \ker P_2(u)$ sont des polynômes en $u$ je ne vois pas comment démarrer.
$P_1(u)$ est un élément de $L(E)$ donc son noyau est bien un élément de $E$.
Les deux projecteurs sont :
$p_1 : E= \ker P_1(u) \oplus \ker P_2(u) \longrightarrow E \\ \ \ \ \ \ \ x=x_1+x_2 \mapsto x_1$ et $p_2 : E= \ker P_1(u) \oplus \ker P_2(u) \longrightarrow E \\ \ \ \ \ \ \ x=x_1+x_2 \mapsto x_2$
@Homo Topi
Je ne vois pas quelle était la réponse attendue à ta question sur le noyau de $p_i$. J'ai l'impression que ta question n'a pas de sens.
Commence par répondre à Frédéric Bosio ici http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2308660,2308674#msg-2308674.
Je n'ai pas compris ta question ni le rapport avec ma problématique mais ce n'est pas grave.
D'accord.
Notons que $P(u)=0=P_1(u) \circ P_2 (u) = P_2(u) \circ P_1(u)$ par commutativité de $\K (u)$
D'après le théorème de Bezout, il existe $(Q_1,Q_2) \in \K^2[X]$ tels que $P_1Q_1 + P_2 Q_2 =1$
Soit $\boxed{\forall x \in E \ \ x=P_1 (u) \circ Q_1 (u) (x) + P_2 (u) \circ Q_2 (u) (x)}$
On a $P_2 (u) \circ P_1 (u) \circ Q_1 (u) (x)= Q_1(u) \circ P(u) (x)= Q_1 (u) (0)=0$
De plus, $P_1 (u) \circ P_2 (u) \circ Q_2 (u) (x)= Q_2(u) \circ P(u) (x)= Q_2 (u) (0)=0$
Donc $\boxed{P_1 (u) \circ Q_1 (u) (x) \in \ker P_2(u)}$ et $ \boxed{P_2 (u) \circ Q_2 (u) (x) \in \ker P_1(u)}$
On a donc $x=p_1(x) + p_2(x)$ où $p_1$ est le projecteur sur $\ker P_1(u)$ parallèlement à $\ker P_2(u)$ et $p_2$ le projecteur sur $\ker P_2(u)$ parallèlement à $\ker P_1(u)$.
On a donc $\boxed{p_1= (P_1 Q_1)(u)}$ et $\boxed{p_2=(P_2 Q_2)(u)}$. Ce sont bien des polynômes en $u$.
J'imagine qu'il faut maintenant traiter le cas où $r \geq 3$.
Supposons que la propriété soit vraie au rang $r$. On considère une famille de polynômes $(P_1, \cdots, P_r,P_{r+1})$ deux à deux premiers entre eux.
Notons $Q=\displaystyle\prod_{k=1}^r P_k$. Comme $\forall k \in [|1,r|] \ PGCD(P_k,P_{r+1})=1$ alors $PGCD(Q,P_{r+1})=1$
D'après le lemme des noyaux, on a $\boxed{E=\ker Q(u) \displaystyle\bigoplus \ker P_{r+1} (u)}$
D'après ce qu'on a montré précédemment, il existe des polynômes $Q_1$ et $Q_2$ en $u$ tels que $Q_1(u)$ soit la projection sur $\ker Q(u)$ et $Q_2(u)$ soit la projection sur $\ker P_r (u)$.
Je bloque à cette étape.
Déjà tu écris $p_1= (P_1 U_1)(u)$, et $U_1$ c'est qui ?
Si tu voulais écrire $p_1= (P_1 Q_1)(u)$ où $p_1$ est le projecteur sur $\ker P_1(u)$ parallèlement à $\ker P_2(u)$ alors... c'est faux. :-D
On sent que tu as deviné la réponse (ou presque à quelques erreurs d'indice près) mais la rédaction de la preuve n'est pas présente.
Essaie de montrer que $(P_1 Q_1)(u)$ est le projecteur sur $\ker P_2(u)$ parallèlement à $\ker P_1(u)$. Pour ce faire tu dois montrer que pour tout $(x_1,x_2)\in \ker P_1(u)\times \ker P_2(u)$, $(P_1 Q_1)(u)(x_1+x_2)=x_2$
Montrons que $(P_1 Q_1)(u)$ est le projecteur sur $\ker P_2(u)$ parallèlement à $\ker P_1(u)$.
Soient $(x_1,x_2) \in \ker P_1(u) \times \ker P_2(u)$. Alors $(P_1 Q_1)(u)(x_1+x_2)=(P_1 Q_1)(u)(x_1) + (P_1 Q_1)(u)(x_2)$ par linéarité du polynôme d'endomorphisme $(P_1 Q_1)(u)$.
Donc $(P_1 Q_1)(u)(x_1+x_2)=Q_1 \circ P_1(u) (x_1) +(P_1 Q_1)(u)(x_2) = 0+ (P_1 Q_1)(u)(x_2)$
Je n'arrive pas à montrer que $(P_1 Q_1)(u)(x_2)=x_2$
On a donc $(P_1 Q_1)(u)(x_2)= (id - P_2 Q_2 (u) ) (x_2)=x_2 - Q_2 \circ P_2 (x_2)=x_2-0=x_2$ car $x_2 \in \ker P_2$.
Maintenant il faut que tu regardes si tu arrives à généraliser au cas $r\geq 3$, mais pas besoin de récurrence comme ce que tu as fait là http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2308660,2309030#msg-2309030.
Essaie par exemple d'exprimer la projection sur $\ker P_1(u)$ comme polynôme en $u$ en t'inspirant du cas $r=2$.
Rien que pour ça je continuerai à l'engueuler. Il m'énerve, j'y peux rien.
On a $E=\ker P_1(u) \oplus ( \ker P_2(u) \oplus \cdots \oplus \ker P_r(u) )$
D'après le lemme des noyaux, on a $\ker P_2(u) \oplus \cdots \oplus \ker P_r(u) = \ker Q(u)$ où $Q=\displaystyle\prod_{k=2}^r P_k$
Mais $P_1$ et $Q$ sont premiers entre eux, donc il existe $(U_1,U_2) \in \R[X]^2$ tels que $P_1 U_1 + Q U_2=1$.
Ainsi, $(QU_2)(u)$ est la projection sur $\ker P_1(u)$ parallèlement à $\ker Q(u)$.
Mais j'ai du mal à généraliser...
1 * 2 * 3 = 1 * (2*3) = 2 * (1*3) = 3 * (1*2)
Décidément, OShine n'est pas sur le chemin de comprendre quoi que ce soit. Ainsi,
> D'après le lemme des noyaux, on a $\boxed{E=\ker Q(u) \displaystyle\bigoplus \ker P_{r+1} (u)}$
> D'après ce qu'on a montré précédemment, il existe des polynômes $Q_1$ et $Q_2$ en $u$ tels
> que $Q_1(u)$ soit la projection sur $\ker Q(u)$ et $Q_2(u)$ soit la projection sur $\ker P_r (u)$.
Les projecteurs "obtenus précédemment" n'étaient pas $Q_1(u)$ et $Q_2(u)$, tandis que $\ker P_r (u)$ n'a rien à faire là.
Cause n°1: une flemme invétérée. Il ne suffit pas de dire que $u=6\, I_d$ serait une possibilité. Il faut se demander quels sont alors les $P$, les $\ker$, les projecteurs, les polynômes $H$ en $X$ tels que les $H(u)$ soient les projecteurs en question. Et ensuite, "on" pourrait se demander s'il n'existerait pas un exemple légèrement moins trivial. Peu d'espoir.
Cause n°2: la présence de singes "savants", qui cherchent tous les moyens possibles pour empêcher OShine de sortir de sa paresse, en "répondant" à sa place... ou en "créant du sens à partir de productions insensées". Tant que OShine ne se sera pas pris par la main pour traiter des exemples et des exemples, jusqu'à arriver à distinguer les polynômes, les applications linéaires, et autres machins trucs, et à vérifier si les calculs confirment les affirmations faites, OShine n'y entravera que dalle: on ne peut pas apprendre à faire du vélo en restant assis à côté du vélo. Deux questions pour les singes "savants", dont Raoul.S:
(1) Prendre $ P_1(X)=\left( X-1 \right) ^{3} ; P_2 = \left(X-3 \right) \left( X-4 \right) ; P_3= \left( X-6 \right)$ et donner les polynômes $H_1,H_2,H_3$ (cela ne coute rien de vérifier la savance des "moi, Madame, je sais, je sais").
(2) Plonger le tout dans un espace vectoriel sur la clôture algébrique du corps de base et faire une théorie générale des polynômes $H$, en particulier en présence de racines multiples.
Cordialement, Pierre.
Ok je vois du coup l'exercice est terminé.
Dans mon livre ils font une récurrence fastidieuse en introduisant un endomorphisme induit.
Pierre je ne comprends pas ton langage.
Quel mot ne comprends-tu pas ?
As-tu seulement essayé ?
As-tu déjà ouvert un dictionnaire ?
Cordialement,
Rescassol
pldx1 j'ai l'impression en fait que c'est toi qui meure d'envie de répondre à tes propres questions :-D, dans ce cas vas-y peut-être qu'OShine apprendra quelque chose de plus.
Je pourrais avoir les noms des autres singes "savants" ? Je tente te deviner : bd2017, Homo Topi, Riemann_lapins_cretins, noobey... j'en ai oublié un ?
Edit : les guillemets sont important autour de savants B-)-
boujtonkumek.
Appliquer toutes ces salades, dans le détail, à $u=x\mapsto 6x $.
…
Il a dit qu'on ressemblait à ça.
Pourquoi on introduit ce $x'$ ?
Je n'arrive pas à comprendre pourquoi $\ker Q( \tilde{u}) = \ker Q(u)$ ni pourquoi $\ker P_i( \tilde{u}) = \ker P_i(u)$
Je ne comprends pas non plus cette suite d'égalités :
$x_i = R_i ( \tilde{u} (x'))=R_i (u)(x')=R_i (u) (Q_1 (u))$
La matrice compagnon (d'un polynôme $P$ de degré 6). Si l'on suppose que $u$ agit sur un espace de dimension 6 et que $P$ est son polynôme minimal, cela veut dire: pour presque tout vecteur de l'espace, les 6 images itérées, de 0 à 5 forment une base et alors, la matrice compagnon est la matrice de l'endomorphisme dans cette base. Rem: on a supposé $\mathbb K$ algébriquement clos, et donc infini, permettant le "presque partout".
D'où la question: connaissant (toutes) les racines de $P$, ne pourrait-on pas prendre une "base bien choisie", plutôt qu'une "base choisie au hasard" ?
Cordialement, Pierre.
Edit: un n avait pris la fuite... et en plus il y avait une erreur sur le nombre des entiers de 0 à 5. Ohlala... et merci à Homo Topi !
Ce fil a été initié par OShine pour résoudre un exercice bien précis. Après que plusieurs intervenants ont posté pour guider OShine, pldx1 les a traités de singes "savants" ( http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2308660,2309204#msg-2309204 ) (l'idée d'ajouter des guillemets est géniale...).
Pour finir, pldx1 propose un exercice à lui aux singes "savants" (pas à OShine qui est l'initiateur du fil) et commence même par "teaser" Homo Topi.
Je ne sais pas, j'ai l'impression que pldx1 a l'espoir de recréer exactement la même situation qu'avec OShine avec une redistribution des rôles, où les anciens singes "savants" prennent la place de notre cher OShine et où lui, pldx1, devient enfin l'unique singe "savant" prodiguant ses conseils et montrant le chemin qu'il faut suivre... B-)-
PS. Tout ça est bien trop alambiqué pldx1, il fallait le dire tout de suite : je veux devenir l'unique singe "savant". Et là on t'aurait dit : mais pas de problème, à partir de maintenant tu seras l'unique singe "savant" du forum.. Il faut s'entraider entre membres du forum... :-D
*D'après les rapports du jury
J'essaie de démontrer $\ker Q(\tilde{u}) = \ker Q(u)$
J'écris $\ker Q(u) = \{ x \in E | \ Q(u)=0 \}$
Mais j'ai du mal à exprimer $\ker Q(\tilde{u})=\{ y \in E \cap \ker Q(u) \ | \ Q(\tilde{u}) (y)=0 \}=\{ y \in E \cap \ker Q(u) \ | \ Q(u) (y)=0 \} $
Si $x \in \ker Q(\tilde{u})$ alors $x \in ker Q(u)$ donc $Q(u)(x)=0$ donc $\boxed{\ker Q(\tilde{u}) \subset \ker Q(u)}$
Réciproquement, si $z \in \ker Q(u)$ alors $Q(u)(z)=0$ donc $z \in \ker Q(\tilde{u})$. Ainsi $\boxed{\ker Q(u) \subset \ker Q(\tilde{u})}$
J'ai compris finalement, dans la dernière égalité, il y a une coquille c'est $R_i(u)(x')=R_i (u) (Q_1 (u)) (x)$ sinon ça n'a pas de sens.
Pas facile la méthode du corrigé. Il faut bien maitriser les projections.